1986-全国理-03 单-极坐标方程与曲线

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的互化，以及直线直角坐标方程的几何意义。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 极坐标方程 $\rho \cos \theta =\frac{4}{3}$ 表示 ()

A. 一条平行于 $x$ 轴的直线　　　　　　B. 一条垂直于 $x$ 轴的直线

C. 一个圆　　　　　　　　　　　　　　D. 一条抛物线

🔍【思路分析】

破题导航

1. 调用极坐标系与直角坐标系的标准转换对应公式不变量： $x=\rho \cos \theta$ 以及 $y=\rho \sin \theta$。
2. 观察已知极坐标方程 $\rho \cos \theta =\frac{4}{3}$ 的左端项，其与直角坐标中的横坐标 $x$ 的代数结构一致。
3. 替换脱去极坐标外壳，化为直角坐标普通方程 $x=\frac{4}{3}$。
4. 分析一元常数直线方程 $x=C$ 在平面直角坐标系中的几何位置分布特征。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 由极坐标与直角坐标的互化公式 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$，得 $\rho \cos \theta =x$。 于是方程 $\rho \cos \theta =\frac{4}{3}$ 化为 $x=\frac{4}{3}$。 在直角坐标系中，$x=\frac{4}{3}$ 表示横坐标恒为 $\frac{4}{3}$ 的点的集合，即一条垂直于 $x$ 轴（平行于 $y$ 轴）的直线。 分析选项： A 选项：平行于 $x$ 轴的直线，错误； B 选项：垂直于 $x$ 轴的直线，正确； C 选项：一个圆，错误； D 选项：一条抛物线，错误。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 极坐标互化：$\rho \cos \theta =x$、$\rho \sin \theta =y$ 是极坐标方程化为直角坐标方程的核心桥梁。
• 方向辨析：$x=C$ 表示垂直于 $x$ 轴的直线，$y=C$ 表示平行于 $x$ 轴的直线，两者容易混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于极坐标与直角坐标的互化，考查 $\rho \cos \theta =x$、$\rho \sin \theta =y$ 的转化及直线方程的识别，是极坐标教学的基础题型。

2. 结论推广：极坐标方程 $\rho \cos \theta =d$（$d\ne 0$）表示垂直于极轴的直线；$\rho \sin \theta =d$ 表示平行于极轴的直线。

3. 方法推广：把极坐标方程化为直角坐标方程，再用熟悉的平面解析几何知识判断曲线形状。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-07 单-极坐标方程与曲线
• 1986-广东理-27 填-极坐标方程化直角坐标
• 1987-上海-20 单-极坐标方程表示的曲线