1989-广东理-16 单-极坐标等边三角形

本题导读

本题考查极坐标系中等边三角形的顶点坐标。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(理)） 在极坐标系中，如果等边三角形 $ABC$ 的两个顶点是 $A\left(2,\frac{\pi }{4}\right)$，$B\left(2,\frac{5\pi }{4}\right)$，那么顶点 $C$ 的坐标可能是()

A. $\left(4,\frac{3\pi }{4}\right)$　　　　　　B. $\left(2\sqrt{3},\frac{3\pi }{4}\right)$　　　　　　C. $\left(2\sqrt{3},\pi \right)$　　　　　　D. $(3,\pi )$

🔍【思路分析】

破题导航

$A,B$ 关于极点对称，$AB=4$，$C$ 在极角 $\frac{3\pi }{4}$ 方向上，极径为高 $2\sqrt{3}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$A\left(2,\frac{\pi }{4}\right)$、$B\left(2,\frac{5\pi }{4}\right)$ 关于极点对称，$AB=4$。等边三角形高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}\times 4=2\sqrt{3}$，顶点 $C$ 位于线段 $AB$ 的垂直平分线上，极角为 $\frac{3\pi }{4}$，极径 $2\sqrt{3}$。故 $C\left(2\sqrt{3},\frac{3\pi }{4}\right)$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标等边三角形

核心方法：$A(2,\frac{\pi }{4})$、$B(2,\frac{5\pi }{4})$ 关于极点对称，$C$ 在 $\frac{3\pi }{4}$ 方向。

避坑指南：边长 $AB=4$，高 $2\sqrt{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标与等边三角形。

结论推广：极坐标两点距离。

方法推广：极坐标几何意义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-18 单-极坐标方程与曲线
• 1991-三南-12 单-极坐标方程化直角坐标
• 1991-上海-10 填-圆的极坐标方程