1988-全国卷理-08 单-极坐标方程与圆锥曲线

本题导读

本题考查圆锥曲线的统一极坐标方程，以及离心率 $e$ 的几何判定。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 极坐标方程 $\rho =\frac{4}{3-2\cos \theta }$ 所表示的曲线是 ()

A. 圆　　　　　　B. 双曲线右支　　　　　　C. 抛物线　　　　　　D. 椭圆

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（统一方程判定法）：圆锥曲线以焦点为极点、极轴指向准线的统一极坐标方程为 $\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta }$。把已知方程分子分母同除以 3，归一化后余弦项前系数即离心率 $e$，由 $e$ 与 1 的大小关系判定曲线类型。
2. 方法二（坐标转换法）：去分母得 $3\rho -2\rho \cos \theta =4$，用 $\rho \cos \theta =x$、$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ 化为直角坐标方程，配方判定。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解法一（统一方程判定法）：

圆锥曲线以焦点为极点的统一极坐标方程为： $\rho =\frac{p\cdot e}{1-e\cos \theta }\text{(1)}$ 其中 $e$ 为离心率。由 $e$ 的大小分类：

• $0<e<1$：椭圆；
• $e=1$：抛物线；
• $e>1$：双曲线。

把已知方程分子分母同除以 $3$： $\rho =\frac{4}{3-2\cos \theta }=\frac{\frac{4}{3}}{1-\frac{2}{3}\cos \theta }\text{(2)}$

与 ① 对比： $e=\frac{2}{3}\text{(3)}$

因为： $0<\frac{2}{3}<1⟹0<e<1\text{(4)}$

所以该曲线为椭圆。

解法二（坐标转换法）：

去分母： $\rho (3-2\cos \theta )=4⟹3\rho -2\rho \cos \theta =4\text{⑤}$

引入转换关系： $\rho \cos \theta =x,\rho =\sqrt{x^2+y^2}\text{⑥}$

代入 ⑤： $3\sqrt{x^2+y^2}-2x=4⟹3\sqrt{x^2+y^2}=2x+4\text{⑦}$

两边平方（需 $2x+4\ge 0$，即 $x\ge -2$）： $9\left(x^2+y^2\right)=(2x+4{)}^2\text{⑧}$ $9x^2+9y^2=4x^2+16x+16\text{⑨}$

移项： $5x^2-16x+9y^2=16\text{⑩}$

方程 ⑩ 中 $x^2$、$y^2$ 的系数分别为 $5$ 和 $9$，同号且不相等，所以是椭圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线以焦点为极点的统一极坐标方程、离心率对曲线类型的判定、极坐标与直角坐标互化。
2. 核心方法：统一极坐标方程判定法、坐标转换法。
3. 避坑指南：
   • 不要未归一化就提取余弦项系数：分母第一项是 3，不能直接把余弦前的 2 当离心率（否则 $e=2>1$，错选 B）。先把分母常数项化为 1，剩余系数才是 $e=\frac{2}{3}$。
   • 方法二中，二次曲线 $A{x}^2+C{y}^2+\cdots =0$：若 $AC>0$ 且 $A\ne C$ 为椭圆；$AC<0$ 为双曲线；$AC=0$（一方为 0）为抛物线；$A=C$ 为圆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1988 年全国高考理科卷第 8 题，考查极坐标方程与圆锥曲线的判定。
2. 结论推广：$\rho =\frac{ep}{1\pm e\cos \theta }$（或 $\rho =\frac{ep}{1\pm e\sin \theta }$）是以焦点为极点的圆锥曲线统一方程。本题还可继续化为标准方程：由 $5x^2-16x+9y^2=16$ 配方得 $\frac{(x-\frac{8}{5}{)}^2}{\frac{144}{25}}+\frac{y^2}{\frac{16}{5}}=1$，中心为 $\left(\frac{8}{5},0\right)$，是椭圆。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-18 单-极坐标方程与曲线
• 1991-上海-10 填-圆的极坐标方程
• 1988-上海-03 填-极坐标方程