1991-上海-22 解-抛物线极坐标方程的应用

本题导读

本题考查抛物线极坐标方程在实际问题中的应用。核心在于建立以焦点为极点的极坐标方程并求最短距离。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这抛物线轨道的焦点处.当此彗星离地球为 $d$（万公里）时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 $30^{\circ }$.求这彗星与地球的最短距离.

🔍【思路分析】

破题导航

建立以焦点为极点的抛物线极坐标方程，分夹角 $30^{\circ }$ 与 $150^{\circ }$ 两种情形求参数 $p$，最短距离为 $p/2$。

✅【答案】

Success

$\frac{2-\sqrt{3}}{4}d$ 或 $\frac{2+\sqrt{3}}{4}d$（万公里）

✍【详细解析】

Abstract

设极坐标以焦点 $O$ 为极点、$Ox$ 过抛物线轴，则抛物线极坐标方程为 $\rho =\frac{p}{1-\cos \theta }$。情形一：$\theta =30^{\circ }$ 时 $\rho =d$，故 $d=\frac{p}{1-\cos 30^{\circ }}$，$p=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)d$。当 $\theta =\pi$ 时 ${\rho }_{\min }=\frac{p}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}d$。情形二：$\theta =150^{\circ }$ 时 $\rho =d$，$p=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)d$，${\rho }_{\min }=\frac{p}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}d$。故最短距离为 $\frac{2-\sqrt{3}}{4}d$ 或 $\frac{2+\sqrt{3}}{4}d$（万公里）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线极坐标方程的应用

核心方法：建立抛物线极坐标方程，分两种夹角情形求最短距离。

避坑指南：极坐标+焦点参数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线极坐标方程以焦点为极点。

结论推广：抛物线极坐标方程 ρ=p/(1−cosθ)。

方法推广：分夹角两种情形

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1992-三南-07 单-椭圆的极坐标方程
• 1991-三南-12 单-极坐标方程化直角坐标
• 1994-上海-13 单-极坐标下直线的方程