1990-全国卷理-08 单-极坐标方程

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及三角公式（半角公式/倍角公式）。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 极坐标方程 $4\rho {\sin }^2\frac{\theta }{2}=5$ 表示的曲线是 ()

A. 圆　　　　　　B. 椭圆　　　　　　C. 双曲线的一支　　　　　　D. 抛物线

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三角公式降幂：利用二倍角公式（或半角公式变形）${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}$，将方程中的半角 $\frac{\theta }{2}$ 统一化为单角 $\theta$．
2. 极坐标方程展开：两边展开并整理成含有 $\rho$ 和 $\rho \cos \theta$ 的结构。
3. 转换为直角坐标：利用极坐标与直角坐标的互化公式 ${\rho }^2=x^2+y^2$，$\rho \cos \theta =x$ 进行代换，根据化简后的直角坐标方程判定曲线类型。

✍ 【详细解析】

解：由半角公式知 ${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}$，代入原极坐标方程得： $4\rho \cdot \frac{1-\cos \theta }{2}=5$

化简得： $2\rho (1-\cos \theta )=5⟹2\rho -2\rho \cos \theta =5$

将极坐标与直角坐标的转换关系 $\rho \cos \theta =x$ 代入上式： $2\rho -2x=5⟹2\rho =2x+5$

两边平方得： $4{\rho }^2=(2x+5{)}^2$

再将 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 代入上式中： $4(x^2+y^2)=4x^2+20x+25$

展开并消去同类项 $4x^2$： $4x^2+4y^2=4x^2+20x+25⟹4y^2=20x+25$

整理成标准方程形式： $y^2=5\left(x+\frac{5}{4}\right)$

该方程为开口向右、顶点在 $\left(-\frac{5}{4},0\right)$ 的抛物线方程。

故正确选项为 (D)．

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化，半角公式 ${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}$ 的应用。
2. 核心方法：坐标互化法。处理极坐标方程的核心在于通过乘 $\rho$ 或利用三角公式构造出 ${\rho }^2$, $\rho \cos \theta$, $\rho \sin \theta$ 的经典组合，从而平滑过渡到直角坐标系。
3. 避坑指南：
   • 容易在处理 $4\rho {\sin }^2\frac{\theta }{2}$ 时由于忽视半角公式，误将其与 ${\rho }^2{\sin }^2\theta$ 混淆。
   • 在两边平方 $2\rho =2x+5$ 时，隐含条件为 $2x+5\ge 0$．化简出的抛物线所有点均满足 $x\ge -\frac{5}{4}$，即 $2x+5\ge 0$ 恒成立，因此轨迹是完整的抛物线，而不是“抛物线的一部分”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于极坐标与参数方程章节的经典常规题，源自教材中对圆锥曲线统一极坐标方程的逆向考查。
2. 结论推广：圆锥曲线（以左焦点或左顶点为极点）的统一极坐标方程往往可以写为 $\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta }$。 本题中的方程 $2\rho (1-\cos \theta )=5$ 移项可得 $\rho =\frac{\frac{5}{2}}{1-\cos \theta }$． 比对标准方程，其离心率 $e=1$．在二次曲线分类中，离心率 $e=1$ 的曲线定义即为抛物线。利用此几何结论，无需化为直角坐标即可本题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1991-三南-12 单-极坐标方程化直角坐标
• 1992-全国卷理-03 单-圆的极坐标方程
• 1992-上海-19 单-极坐标中直线与圆