1990-全国文-25 解-复数方程的求解

本题导读

本题考查复数方程的求解。核心在于设 $z=x+y\mathrm{i}$ 分离实虚部，再分类讨论。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） 设 $a⩾0$，在复数集 $C$ 中解方程：$z^2+2|z|=a$.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $z=x+y\mathrm{i}$，右端为实数故虚部为零，分 $y=0$ 与 $x=0$ 讨论。

✅【答案】

Success

任意 $a⩾0$ 都有实数解 $z=\pm (\sqrt{a+1}-1)$；当 $0⩽a⩽1$ 时还有纯虚数解 $z=\pm (1+\sqrt{1-a})\mathrm{i}$、$z=\pm (1-\sqrt{1-a})\mathrm{i}$（重合根只计一次）

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=x+y\mathrm{i}$，则 $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$，$z^2=x^2-y^2+2xy\mathrm{i}$。原方程右端为实数，故 $2xy=0$。（1）若 $y=0$，$z=x$，方程化为 $x^2+2|x|=a$。令 $t=|x|⩾0$，$t^2+2t-a=0$，$t=-1+\sqrt{a+1}$，实数解 $z=\pm (\sqrt{a+1}-1)$。

（2）若 $x=0$，$z=y\mathrm{i}$，令 $t=|y|⩾0$，则 $-t^2+2t=a$ 即 $t^2-2t+a=0$，$t=1\pm \sqrt{1-a}$，须 $0⩽a⩽1$，得纯虚数解 $z=\pm (1+\sqrt{1-a})\mathrm{i}$、$z=\pm (1-\sqrt{1-a})\mathrm{i}$。综上，任意 $a⩾0$ 有实数解 $z=\pm (\sqrt{a+1}-1)$；当 $0⩽a⩽1$ 时再加上述两组纯虚数解。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数方程的求解

核心方法：设 z=x+yi 分离实虚部，分类讨论解复数方程。

避坑指南：复数方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数方程分离实虚部。

结论推广：z²+2|z|=a 右端实故虚部为零。

方法推广：分类讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-25 解-复数方程与模
• 1992-三南-28 解-复数的整数解
• 1993-旧高考文-29 解-复数的三角形式与辐角条件