1987-全国卷理-23 解-复合函数求导

本题导读

本题考查导数的四则运算法则（乘积求导）、复合函数求导法则（链式法则）。核心在于算子分步剥离法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 设 $y=x\ln (1+x^2)$，求 $y^{\prime }$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 应用乘积求导法则各项： 目标函数满足 $y=u(x)\cdot v(x)$ 结构，其中前项 $u(x)=x$，后项 $v(x)=\ln (1+x^2)$。 调用乘积求导公式： $y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$。
2. 应用链式法则求解复合项导数： 对于后项 $v=\ln (1+x^2)$，其属于 $v=f(g(x))$ 的复合函数结构，其中外层核心算子 $f(u)=\ln u$，内层特征映射 $u=g(x)=1+x^2$。 调用经典自然对数导数基本公式： $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{1}{u}$。 结合链式法则进行递进剥离： $v^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}\cdot (1+x^2{)}^{\prime }$．
3. 代数合并规整： 将各分立导数项组合，进行同类项整理。

✅【答案】

Success

$y^{\prime }=\ln (1+x^2)+\frac{2x^2}{1+x^2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

根据函数的代数结构，首先对其应用乘积求导法则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$： $y^{\prime }=(x{)}^{\prime }\cdot \ln (1+x^2)+x\cdot {\left[\ln (1+x^2)\right]}^{\prime }\text{(1)}$

因为自变量一阶线性导数满足 $(x{)}^{\prime }=1$，所以式 ① 的前半部分可化简为： $(x{)}^{\prime }\cdot \ln (1+x^2)=1\cdot \ln (1+x^2)=\ln (1+x^2)\text{(2)}$

对于式 ① 的后半部分复合函数项 ${\left[\ln (1+x^2)\right]}^{\prime }$，引入中间变量 $u=1+x^2$，根据复合函数求导的链式法则（Chain Rule）进行逐层求导： ${\left[\ln (1+x^2)\right]}^{\prime }=\frac{\mathrm{d}(\ln u)}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{1+x^2}\cdot (1+x^2{)}^{\prime }\text{(3)}$

由于常数求导为 0，幂函数求导满足 $(x^2{)}^{\prime }=2x$，因此： $(1+x^2{)}^{\prime }=0+2x=2x\text{(4)}$

将项式 ④ 代回式 ③，求得复合项的导数： ${\left[\ln (1+x^2)\right]}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^2}\text{⑤}$

将项式 ⑤ 代回式 ① 的后半部分中，与前置系数 $x$ 进行乘法合并： $x\cdot {\left[\ln (1+x^2)\right]}^{\prime }=x\cdot \frac{2x}{1+x^2}=\frac{2x^2}{1+x^2}\text{⑥}$

最后，将式 ② 与式 ⑥ 的各项结果组合相加，合并为最终结果： $y^{\prime }=\ln (1+x^2)+\frac{2x^2}{1+x^2}\text{⑦}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：积的求导法则公式、自然对数常见求导公式、复合函数链式法则。
2. 核心方法：分步求导法。
3. 避坑指南：
   • 在对复合项 $\ln (1+x^2)$ 求导时，容易漏掉内层函数 $1+x^2$ 的导数，将其错写成 $\frac{1}{1+x^2}$。必须严格执行“由外向内”逐层剥离的链式要求，乘以内层导数 $2x$。
   • 注意不要混淆求导符号和原函数，最终合并时，项 ⑥ 分子上的 $x^2$ 是由前面的系数 $x$ 与内层导数出来的 $2x$ 相乘得到的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1987 年全国高考理科卷的附加题第 23 题（第二道附加题），考查微积分基本导数算理。其高等数学背景为可导性计算。
2. 结论推广：对于广义的幂复合对数函数乘积结构 $y=x^n\ln (a+b{x}^m)$，利用相同的复合与乘积算子组合变换，其一阶导数在无条件满足下列标准代数控制方程： $y^{\prime }=n{x}^{n-1}\ln (a+b{x}^m)+\frac{mb{x}^{n+m-1}}{a+b{x}^m}$ 在本题特定标量中（ $n=1,a=1,b=1,m=2$ ），代入通式直接输出： $1\cdot x^0\ln (1+x^2)+\frac{2\cdot 1\cdot x^{1+2-1}}{1+x^2}=\ln (1+x^2)+\frac{2x^2}{1+x^2}$。

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