1990-全国文-26 解-椭圆方程与最值

本题导读

本题考查椭圆方程与距离最值的综合。核心在于用参数化表示椭圆上的点，求距离最大值并讨论位置。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，已知点 $P\left(0,\frac{3}{2}\right)$ 到这个椭圆上的点的最远距离是 $\sqrt{7}$.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点 $P$ 的距离等于 $\sqrt{7}$ 的点的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

设半长轴 $p$、半短轴 $q$，由离心率得 $p=2q$，用配方法求距离平方的最大值并讨论最值点位置。

✅【答案】

Success

椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，所求点为 $\left(\pm \sqrt{3},-\frac{1}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

设半长轴 $p$、半短轴 $q$（$p>q>0$），离心率 $\frac{c}{p}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又 $q^2=p^2-c^2$，得 $q^2=\frac{p^2}{4}$ 即 $p=2q$。椭圆 $\frac{x^2}{4q^2}+\frac{y^2}{q^2}=1$，点 $(x,y)$ 满足 $x^2=4q^2-4y^2$。到 $P\left(0,\frac{3}{2}\right)$ 的距离平方 $d^2=x^2+{\left(y-\frac{3}{2}\right)}^2=4q^2-3y^2-3y+\frac{9}{4}=4q^2+3-3{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2$，在 $y\in [-q,q]$ 上求最大。（1）若 $q⩾\frac{1}{2}$，则 $y=-\frac{1}{2}$ 取最大，$4q^2+3=7$，$q=1$，$p=2$，此时 $x^2=4-4\cdot \frac{1}{4}=3$，点 $\left(\pm \sqrt{3},-\frac{1}{2}\right)$。（2）若 $0<q<\frac{1}{2}$，最大在 $y=-q$ 处，$d_{\max }^2={\left(q+\frac{3}{2}\right)}^2=7$ 得 $q=\sqrt{7}-\frac{3}{2}>\frac{1}{2}$ 矛盾。故 $q=1$，椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，所求点 $\left(\pm \sqrt{3},-\frac{1}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与最值

核心方法：用椭圆参数化求距离的最值，讨论最值点位置。

避坑指南：椭圆最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆最值用参数化或配方法。

结论推广：椭圆 x²/a²+y²/b²=1 上点 (acosθ,bsinθ)。

方法推广：讨论最值点位置

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1991-全国文-26 解-椭圆的标准方程
• 1993-新高考文-28 解-椭圆方程的求解
• 1993-旧高考文-28 解-椭圆方程的求解