1991-全国文-26 解-椭圆的标准方程

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于待定系数设方程，联立直线用垂直与弦长条件列方程。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 已知椭圆的中心在坐标原点 $O$，焦点在坐标轴上，直线 $y=x+1$ 与该椭圆相交于 $P$ 和 $Q$，且 $OP\perp OQ$，$|PQ|=\frac{\sqrt{10}}{2}$，求椭圆的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $u{x}^2+v{y}^2=1$，联立直线，用 $OP\perp OQ$ 与 $|PQ|$ 两个条件列方程解 $u,v$。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{2}+\frac{3y^2}{2}=1$ 或 $\frac{3x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=1$

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆方程为 $u{x}^2+v{y}^2=1$（$u>0,v>0$）。将 $y=x+1$ 代入得 $(u+v)x^2+2vx+v-1=0$，设交点横坐标为 $x_1,x_2$，则 $x_1+x_2=-\frac{2v}{u+v}$，$x_1{x}_2=\frac{v-1}{u+v}$。由 $OP\perp OQ$ 有 $x_1{x}_2+(x_1+1)(x_2+1)=0$，即 $2x_1{x}_2+x_1+x_2+1=0$，代入得 $u+v=2$。又 $P,Q$ 在斜率 $1$ 的直线上，$|PQ|=\sqrt{2}|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{10}}{2}$，故 $(x_1-x_2{)}^2=\frac{5}{4}$，即 $(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=v^2-2v+2=\frac{5}{4}$，得 $(v-1{)}^2=\frac{1}{4}$，$v=\frac{1}{2}$ 或 $v=\frac{3}{2}$。对应 $u=\frac{3}{2}$ 或 $u=\frac{1}{2}$。故椭圆方程为 $\frac{3x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=1$ 或 $\frac{x^2}{2}+\frac{3y^2}{2}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程

核心方法：设 $u{x}^2+v{y}^2=1$，联立用 $OP\perp OQ$ 与 $|PQ|=\frac{\sqrt{10}}{2}$，得 $\frac{x^2}{2}+\frac{3y^2}{2}=1$ 或 $\frac{3x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=1$

避坑指南：待定系数联立韦达

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的标准方程

结论推广：待定系数 + 韦达定理

方法推广：联立消元韦达

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-09 单-由准线与离心率定椭圆方程
• 1995-全国卷文-26 解-椭圆中动点轨迹方程（向量比值定形）
• 1994-全国卷文-02 单-椭圆的标准方程与参数范围