1990-广东理-32 解-椭圆的方程与焦点

本题导读

本题考查椭圆的方程与焦点、准线，以及椭圆定义的应用。核心在于由焦点和准线求椭圆方程，再用定义求比值。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(理)） 已知椭圆的焦点为 $F_1(0,-1)$ 和 $F_2(0,1)$，直线 $y=4$ 是椭圆的一条准线.

(1)求椭圆的方程；

(2)又设点 $P$ 在这个椭圆上，且 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=1$，求 $\tan \angle F_{1}P{F}_2$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）由焦点定 $c=1$，准线 $y=4$ 定 $a$；（2）用椭圆定义与余弦定理求正切。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$；(2)$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设椭圆方程 $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$（$a>b>0$）。由焦点坐标知半焦距 $c=1$，又 $y=4$ 是准线，故 $\frac{a^2}{c}=4$，得 $a^2=4$，$b^2=a^2-c^2=3$。椭圆方程为 $\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$。

（2）由椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=4$，结合 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=1$，得 $|P{F}_1|=\frac{5}{2}$，$|P{F}_2|=\frac{3}{2}$。又 $|F_1{F}_2|=2c=2$，在 $△F_{1}P{F}_2$ 中由余弦定理，$\cos \angle F_{1}P{F}_2=\frac{|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2-|F_1{F}_2{|}^2}{2|P{F}_1||P{F}_2|}=\frac{\frac{25}{4}+\frac{9}{4}-4}{\frac{15}{2}}=\frac{3}{5}$。故 $\tan \angle F_{1}P{F}_2=\sqrt{\frac{1}{{\cos }^2\angle F_{1}P{F}_2}-1}=\sqrt{\frac{25}{9}-1}=\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的方程与焦点

核心方法：由焦点和准线求椭圆方程，用定义求比值。

避坑指南：椭圆定义

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆定义与准线。

结论推广：a²/c=4 得 a=2。

方法推广：焦点在y轴

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-02 单-椭圆的定义与焦点距离
• 1991-全国文-26 解-椭圆的标准方程
• 1991-三南-19 填-椭圆的离心率