1988-广东文-25 单-椭圆上的最值问题

本题导读

本题考查椭圆定义与第二准线的应用求最值。核心在于把 $2|MF|$ 转化为到准线的距离。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(文)） 设点 $A(-2,\sqrt{3})$，$F$ 为椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ 的右焦点，点 $M$ 在该椭圆上移动，当 $|AM|+2|MF|$ 取最小值时，点 $M$ 的坐标是()

A. $(0,2\sqrt{3})$　　　　　　B. $(0,-2\sqrt{3})$　　　　　　C. $(2\sqrt{3},\sqrt{3})$　　　　　　D. $(-2\sqrt{3},\sqrt{3})$

🔍【思路分析】

破题导航

$e=\frac{1}{2}$，$2|MF|=\frac{|MF|}{e}$ 为 $M$ 到右准线的距离，最小值在 $M$ 位于 $A$ 的水平线上。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$a=4$，$b=2\sqrt{3}$，$c=2$，$e=\frac{c}{2}=\frac{1}{2}$。$2|MF|=\frac{|MF|}{e}$，由椭圆第二定义等于 $M$ 到右准线 $x=\frac{a^2}{c}=8$ 的距离。故 $|AM|+2|MF|=|AM|+M$ 到右准线距离，其最小值为 $A$ 到准线的垂线段，即过 $A(-2,\sqrt{3})$ 的水平线与椭圆右侧交点。令 $y=\sqrt{3}$：$\frac{x^2}{16}+\frac{3}{12}=1$，$x^2=12$，$x=2\sqrt{3}$（取右）。故 $M(2\sqrt{3},\sqrt{3})$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆上的最值问题

核心方法：椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，$a=4,b=2\sqrt{3},c=2$，右焦点 $F(2,0)$。用椭圆定义与几何意义求 $|AM|+2|MF|$ 最小值。

避坑指南：离心率 $e=\frac{1}{2}$，$2|MF|=\frac{|MF|}{e}$ 对应右准线距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆最值。

结论推广：定义与准线。

方法推广：离心率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-03 单-椭圆的离心率
• 1990-广东理-32 解-椭圆的方程与焦点
• 1996-全国卷文-09 单-由准线与离心率定椭圆方程