1986-全国文-16 填-双曲线的标准方程

本题导读

本题考查由公共焦点与离心率求双曲线方程。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(文)） 求与椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 有公共焦点，且离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 的双曲线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

椭圆定 $c=\sqrt{5}$；$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ 给 $a=2$，$b^2=c^2-a^2$。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{4}-y^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆的 $c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，焦点在 $x$ 轴。双曲线与椭圆共焦点，故 $c=\sqrt{5}$。由 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ 得 $a=2$，$b^2=c^2-a^2=5-4=1$。故双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的标准方程

核心方法：公共焦点 $c=\sqrt{5}$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ 给 $a=2$，$b^2=1$。

避坑指南：双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$，焦点在 $x$ 轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：共焦点圆锥曲线。

结论推广：$c$ 相同，离心率定 $a$。

方法推广：$b^2=c^2-a^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1989-全国文-24 解-椭圆与双曲线公共焦点
• 1990-广东理-32 解-椭圆的方程与焦点
• 1988-全国文-05 单-椭圆的焦距