1989-全国文-24 解-椭圆与双曲线公共焦点

本题导读

本题考查椭圆与双曲线公共焦点问题。核心在于联立求交点，用均值不等式求面积最值。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(文)） 给定椭圆方程 $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$（$a>b>0$），求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

设双曲线方程，联立求交点坐标，用均值不等式求面积最值。

✅【答案】

Success

双曲线 $y^2-x^2=\frac{a^2-b^2}{2}$；顶点 $\left(\pm \frac{b}{\sqrt{2}},\pm \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$；最大面积 $2ab$

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆焦半距 $c=\sqrt{a^2-b^2}$。公共焦点的双曲线取纵轴为实轴，设为 $\frac{y^2}{u^2}-\frac{x^2}{v^2}=1$（$u,v>0$），则 $u^2+v^2=c^2$。记交点横、纵坐标平方为 $X=x^2$、$Y=y^2$，则 $\frac{X}{b^2}+\frac{Y}{a^2}=1$，$\frac{Y}{u^2}-\frac{X}{v^2}=1$。解得 $X=\frac{b^2{v}^2(a^2-u^2)}{a^2{v}^2+b^2{u}^2}$，$Y=\frac{a^2{u}^2(b^2+v^2)}{a^2{v}^2+b^2{u}^2}$。由 $u^2+v^2=c^2=a^2-b^2$ 得 $XY=\frac{a^2{b}^2{u}^2{v}^2}{c^4}$。四交点关于坐标轴对称，组成矩形，面积 $S=4\sqrt{XY}=\frac{4abuv}{c^2}$。由均值不等式 $uv\le \frac{u^2+v^2}{2}=\frac{c^2}{2}$，当 $u=v=\frac{c}{\sqrt{2}}$ 时取等号。故面积最大的双曲线为 $\frac{y^2}{c^2/2}-\frac{x^2}{c^2/2}=1$，即 $y^2-x^2=\frac{a^2-b^2}{2}$。此时 $X=\frac{b^2}{2}$，$Y=\frac{a^2}{2}$，四顶点为 $\left(\pm \frac{b}{\sqrt{2}},\pm \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$，最大面积 $S_{\max }=2ab$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与双曲线公共焦点

核心方法：设双曲线方程，联立求交点，用均值不等式求面积最值。

避坑指南：联立+均值不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：均值不等式求最值。

结论推广：uv≤(u²+v²)/2。

方法推广：取等条件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 1991-全国文-26 解-椭圆的标准方程
• 1991-三南-19 填-椭圆的离心率
• 1992-全国文-02 单-椭圆的定义与焦点距离