1988-全国卷理-25 解-椭圆与抛物线的定义

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、抛物线的定义与标准方程。核心在于曲线联合法（代数法）、转换主元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 直线 $L$ 的方程为 $x=-\frac{p}{2}$，其中 $p>0$；椭圆的中心为 $D\left(2+\frac{p}{2},0\right)$，焦点在 $x$ 轴上，长半轴长为 2，短半轴长为 1，它的一个顶点为 $A\left(\frac{p}{2},0\right)$.问 $p$ 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点 $A$ 的距离等于该点到直线 $L$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析几何模型化： - 满足“到定点 $A\left(\frac{p}{2},0\right)$ 的距离等于到定直线 $L:x=-\frac{p}{2}$ 的距离”的点的轨迹，根据抛物线的定义，是一条以 $A$ 为焦点、 $L$ 为准线的抛物线 $C$。由于焦点和准线关于原点对称，抛物线方程为 $y^2=2px$。
   • 题目要求的“椭圆上有四个不同的点”满足该距离条件，实质上等于椭圆与抛物线 $y^2=2px$ 有四个不同的交点。
2. 写出椭圆方程： 根据中心 $D\left(2+\frac{p}{2},0\right)$ 以及 $a=2,b=1$，写出标准平移后的椭圆方程。
3. 联立方程并转元： 联立椭圆与抛物线方程，消去 $y^2$，得到关于 $x$ 的一元二次方程。由于抛物线要求 $y^2\ge 0⟹x\ge 0$，且点必须在椭圆上（限制了 $x$ 的上下界），因此问题转化为：该二次方程在特定区间内有两个不同的正实根。
4. 区间根讨论： 利用二次函数的对称轴、判别式及端点值确定参数 $p$ 的范围。

✅【答案】

Success

$0<p<\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确立两曲线的方程 由题意，设满足到定点 $A\left(\frac{p}{2},0\right)$ 的距离等于到定直线 $L:x=-\frac{p}{2}$ 的距离的动点为 $M(x,y)$。 根据抛物线的定义，由于焦点为 $A\left(\frac{p}{2},0\right)$，准线为 $x=-\frac{p}{2}$，其顶点在原点， 故动点 $M$ 的轨迹方程为抛物线： $y^2=2px(x\ge 0)\text{(1)}$

又已知椭圆中心为 $D\left(2+\frac{p}{2},0\right)$，焦点在 $x$ 轴上，$a=2,b=1$， 故椭圆的标准方程为： $\frac{{\left(x-2-\frac{p}{2}\right)}^2}{4}+y^2=1\text{(2)}$ 其中 $x$ 的取值范围由长轴限制： $\left(2+\frac{p}{2}\right)-2\le x\le \left(2+\frac{p}{2}\right)+2⟹\frac{p}{2}\le x\le 4+\frac{p}{2}\text{(3)}$ 题目要求椭圆上有四个不同的点满足条件，即方程组 ① 和 ② 在满足 ③ 的区间内有 4 组不同的解 $(x,y)$。

第二步：联立消元并转化为区间根问题 将 ① 代入 ② 中，消去 $y^2$ 得： $\frac{{\left(x-2-\frac{p}{2}\right)}^2}{4}+2px=1$ 两边同乘以 4，展开并整理： ${\left[x-\left(2+\frac{p}{2}\right)\right]}^2+8px=4$ $x^2-(4+p)x+{\left(2+\frac{p}{2}\right)}^2+8px-4=0$ $x^2+(7p-4)x+\frac{p^2}{4}+2p=0\text{(4)}$

由于抛物线 $y^2=2px$ 中，每一个满足条件的 $x$（且 $x>0$）都对应着两个相反的 $y$ 值（$y=\pm \sqrt{2px}$）， 要使方程组有 4 个不同的交点，必须且只需关于 $x$ 的一元二次方程 ④ 在椭圆的范围区间内有两个不同的实数根。 结合 $x\ge 0$ 与范围 ③，严格的 $x$ 取值区间为： $x\in \left(\frac{p}{2},4+\frac{p}{2}\right)$ 第三步：利用二次函数性质求解参数范围 设 $f(x)=x^2+(7p-4)x+\frac{p^2}{4}+2p$。要使 $f(x)=0$ 在 $\left(\frac{p}{2},4+\frac{p}{2}\right)$ 内有两个不同的实根，需满足以下条件：

1. 判别式大于 0： $\Delta =(7p-4{)}^2-4\left(\frac{p^2}{4}+2p\right)>0$ $49p^2-56p+16-p^2-8p>0⟹48p^2-64p+16>0$ 两边同除以 16： $3p^2-4p+1>0⟹(3p-1)(p-1)>0$ 解得：$p<\frac{1}{3}$ 或 $p>1$。

2. 对称轴在区间内部： $\frac{p}{2}<-\frac{7p-4}{2}<4+\frac{p}{2}$

   • 左边：$\frac{p}{2}<-\frac{7p-4}{2}⟹p<-7p+4⟹8p<4⟹p<\frac{1}{2}$
   • 右边：$-\frac{7p-4}{2}<4+\frac{p}{2}⟹-7p+4<8+p⟹-4<8p⟹p>-\frac{1}{2}$ 综合对称轴条件得：$-\frac{1}{2}<p<\frac{1}{2}$。

3. 区间端点值均为正：

   • 对于左端点 $x=\frac{p}{2}$： $f\left(\frac{p}{2}\right)={\left(\frac{p}{2}\right)}^2+(7p-4)\left(\frac{p}{2}\right)+\frac{p^2}{4}+2p=\frac{p^2}{4}+\frac{7p^2}{2}-2p+\frac{p^2}{4}+2p=4p^2$ 因为已知 $p>0$，所以 $4p^2>0$ 恒成立。
   • 对于右端点 $x=4+\frac{p}{2}$： $f\left(4+\frac{p}{2}\right)={\left(4+\frac{p}{2}\right)}^2+(7p-4)\left(4+\frac{p}{2}\right)+\frac{p^2}{4}+2p$ $=16+4p+\frac{p^2}{4}+28p+\frac{7p^2}{2}-16-2p+\frac{p^2}{4}+2p=4p^2+32p$ 因为 $p>0$，所以 $4p^2+32p>0$ 恒成立。

第四步：求交集确定最终范围 综合上述所有不等式组： $\{\begin{array}{l}p>0\\ p<\frac{1}{3}\text{ 或 }p>1\\ -\frac{1}{2}<p<\frac{1}{2}\end{array}$

求其交集，可得 $p$ 的取值范围是： $0<p<\frac{1}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 抛物线第二定义的隐藏应用，两二次曲线交点问题，一元二次方程根的分布。
2. 核心 method： * 定义转化法： 识别出“到定点等于到定直线距离”为标准抛物线，免去了直接带根号的两点距离公式计算，大幅简化了运算难度。
3. 避坑指南： * 漏掉交点倍化关系： 容易误认为方程 ④ 有四个根。必须明确 $x$ 的一根对应 $y$ 的两根，所以 $x$ 只需要 2 个根。
   • 区间端点漏掉讨论： 在转化区间时，必须严格确定 $x$ 必须在开区间 $\left(\frac{p}{2},4+\frac{p}{2}\right)$ 内。若落在端点上，由 $y^2=0$ 可知只能产生 1 个交点，无法凑齐 4 个。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是解析几何最经典的“数形结合”与“方程理论”相互依存的压轴题。在高等数学中，这属于二次曲线系（Conic Pencils）的相交数问题。
2. 结论推广： 设一左顶点在 $(x_0,0)$ 的标准横轴椭圆 $\frac{(x-x_0-a{)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，与以该顶点为焦点、对称线为准线的抛物线 $y^2=2p(x-x_0+\frac{p}{2})$ 相交。其能产生 4 个交点的充要条件取决于抛物线的通径 $2p$ 与椭圆几何形变率的精细配比，通过本题的模型化方法，即可精确锁定制约交点数爆炸的几何上临界阈值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-33 解-椭圆的方程与焦点
• 1990-广东理-32 解-椭圆的方程与焦点
• 1996-全国卷文-09 单-由准线与离心率定椭圆方程