1990-广东文-33 解-椭圆的方程与焦点

本题导读

本题考查椭圆的方程与焦点、准线，以及椭圆定义的应用。核心在于由焦点和准线求椭圆方程，再用定义求余弦值。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(文)） 已知椭圆的焦点为 $F_1(-1,0)$ 和 $F_2(1,0)$，直线 $x=4$ 是椭圆的一条准线.

(1)求椭圆的方程；

(2)又设点 $P$ 在椭圆上，且 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=1$，求 $\cos \angle F_{1}P{F}_2$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）由焦点定 $c=1$，准线 $x=4$ 定 $a$；（2）用椭圆定义与余弦定理求余弦值。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；(2)$\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，半焦距为 $c$。由焦点坐标知 $c=1$，又准线 $x=4$，故 $\frac{a^2}{c}=4$，得 $a=2$，$b^2=a^2-c^2=3$。椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

（2）设 $d_1=|P{F}_1|$，$d_2=|P{F}_2|$。由椭圆定义及题设得 $d_1+d_2=2a=4$，$d_1-d_2=1$，解得 $d_1=\frac{5}{2}$，$d_2=\frac{3}{2}$。在 $△F_{1}P{F}_2$ 中 $F_1{F}_2=2$，由余弦定理 $\cos \angle F_{1}P{F}_2=\frac{d_1^2+d_2^2-F_1{F}_2^2}{2d_1{d}_2}=\frac{\frac{25}{4}+\frac{9}{4}-4}{2\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}}=\frac{3}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的方程与焦点

核心方法：由焦点和准线求椭圆方程，用定义求比值。

避坑指南：椭圆定义

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆定义与准线。

结论推广：a²/c=4 得 a=2。

方法推广：焦点在x轴

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-02 单-椭圆的定义与焦点距离
• 1991-全国文-26 解-椭圆的标准方程
• 1991-三南-19 填-椭圆的离心率