1990-全国卷理-25 解-椭圆与最值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、点到椭圆上点距离的最值问题。核心在于变量代换法（函数最值法）、配方法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，已知点 $P\left(0,\frac{3}{2}\right)$ 到这个椭圆上的点的最远距离是 $\sqrt{7}$.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点 $P$ 的距离等于 $\sqrt{7}$ 的点的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立椭圆标准方程模型：由长轴在 $x$ 轴上，设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)．利用 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 找出 $a,b$ 的比例关系，从而用单个参数 $b$ 表示椭圆方程。
2. 构建距离目标函数：设椭圆上动点为 $M(x,y)$，利用两点间距离公式写出 $|PM{|}^2$ 关于 $x,y$ 的代数式，再利用椭圆方程消去 $x^2$，将其转化为关于 $y$ 的一元二次函数。
3. 结合区间范围求最值：根据动点 $M$ 在椭圆上，确定 $y$ 的范围为 $[-b,b]$．通过对二次函数进行配方，分析对称轴的位置，利用“最远距离是 $\sqrt{7}$”建立关于 $b$ 的方程，求出 $b$ 的值。
4. 求出目标点的坐标：将求得的椭圆方程与距离条件联立，直接解出满足 $|PM|=\sqrt{7}$ 的动点 $M$ 的坐标。

✅【答案】

Success

椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，点的坐标为 $\left(\pm \sqrt{3},-\frac{1}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆的半长轴、半短轴分别为 $a,b$（$a>b>0$），长轴在 $x$ 轴上，故椭圆方程可设为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$．

由离心率 $e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得 $a^2-b^2=\frac{3}{4}{a}^2$，即 $b^2=\frac{1}{4}{a}^2$，所以 $a=2b$．

椭圆上的点可表示为 $(2b\cos t,b\sin t)$，令 $w=\sin t$，则该点到 $P\left(0,\frac{3}{2}\right)$ 的距离平方为 $D^2=(2b\cos t{)}^2+{\left(b\sin t-\frac{3}{2}\right)}^2=4b^2{\cos }^{2}t+b^2{\sin }^{2}t-3b\sin t+\frac{9}{4}=4b^2-3b^2{w}^2-3bw+\frac{9}{4}.$

这是关于 $w$ 的二次函数，二次项系数 $-3b^2<0$，开口向下，且 $-1\le w\le 1$，对称轴为 $w=-\frac{1}{2b}$．

若 $0<b<\frac{1}{2}$，则对称轴在区间外，最大值在 $w=-1$ 处取得，最大值为 ${\left(b+\frac{3}{2}\right)}^2<4$，不可能等于已知的 $7$；当 $b=\frac{1}{2}$ 时最大值为 $4$，也不符合．因此 $b>\frac{1}{2}$，此时顶点 $w=-\frac{1}{2b}$ 落在 $[-1,1]$ 内，最大距离平方为 $D_{\max }^2=4b^2-\frac{3b^2}{4b^2}\cdot b^2+\frac{3b}{2b}\cdot b+\frac{9}{4}.$ 在 $w=-\frac{1}{2b}$ 处，$3b^2{w}^2+3bw=3b^2\cdot \frac{1}{4b^2}-3b\cdot \frac{1}{2b}=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}=-\frac{3}{4}$，故 $D_{\max }^2=4b^2+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=4b^2+3.$

由最远距离为 $\sqrt{7}$，得 $4b^2+3=7$，解得 $b=1$，从而 $a=2$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$．

在该椭圆上，距离平方为 $D^2=4-3w^2-3w+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}-3w^2-3w$．令其等于 $7$，得 $3w^2+3w+\frac{3}{4}=0$，即 ${\left(w+\frac{1}{2}\right)}^2=0$，所以 $w=-\frac{1}{2}$，即 $y=-\frac{1}{2}$，$x=\pm \sqrt{4(1-w^2)}=\pm \sqrt{3}$．

故所求点的坐标为 $\left(\sqrt{3},-\frac{1}{2}\right)$ 和 $\left(-\sqrt{3},-\frac{1}{2}\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的代数方程转化，动点距离公式的二次函数最值分析，闭区间上二次函数顶点特性的检验。
2. 核心方法：代数换元与配方法。将几何上的“点线距离”转化为代数上的“二次函数”，利用自变量的物理边界范围（如本题 $y\in [-b,b]$）求解复合适子。
3. 避坑指南：
   • 混淆二次函数开口方向与最值位置：本题配方后二次项系数为 $-3$，开口向下，故最大值在顶点处取得（若顶点在区间内）。很多考生习惯性地认为“最远距离一定在端点取得”，从而去解 ${\left(b\pm \frac{3}{2}\right)}^2=7$，导致算出错误且复杂的答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是解析几何解答题中的经典题型，源自教材中对“圆锥曲线的最值与范围”性质的综合考查。它将曲线轨迹与高一函数最值理论完美融合。
2. 结论推广：对于动点 $M(x,y)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上，定点为 $P(0,y_0)$。其距离公式化为关于 $y$ 的二次函数后，其最大值或最小值的取得位置完全取决于对称轴 $y_{\text{轴}}=\frac{b^2{y}_0}{a^2-b^2}$ 是否在区间 $[-b,b]$ 内。若在区间内，顶点处必然贡献一个极值；若在区间外，则最值必在端点 $\pm b$ 处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1991-全国文-26 解-椭圆的标准方程
• 1991-三南-19 填-椭圆的离心率
• 1992-全国文-02 单-椭圆的定义与焦点距离