1986-全国理-23 解-导数与切线综合

本题导读

本题考查导数运算与几何意义的综合。核心在于乘积求导、链式法则与设切点求切线方程的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 附加题：

(1) 求 $y=x\arctan x^2$ 的导数；

(2) 求过点 $(-1,0)$ 并与曲线 $y=\frac{x+1}{x+2}$ 相切的直线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 用乘积法则与链式法则；(2) 设切点、用导数求斜率，代点解出切点。

✅【答案】

Success

(1) $y^{\prime }=\arctan x^2+\frac{2x^2}{1+x^4}$

(2) $y=x+1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 令 $y=u(x)v(x)$，其中 $u(x)=x$，$v(x)=\arctan x^2$。由乘积法则 $y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$，而 $u^{\prime }=1$，$v^{\prime }=\frac{1}{1+(x^2{)}^2}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^4}$。故 $y^{\prime }=\arctan x^2+x\cdot \frac{2x}{1+x^4}=\arctan x^2+\frac{2x^2}{1+x^4}$。

(2) 曲线 $y=\frac{x+1}{x+2}$ 的导数 $y^{\prime }=\frac{(x+2)-(x+1)}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{(x+2{)}^2}$。设切点为 $T\left(t,\frac{t+1}{t+2}\right)$，则切线斜率 $k=\frac{1}{(t+2{)}^2}$。又切线过点 $(-1,0)$，故 $k=\frac{\frac{t+1}{t+2}-0}{t-(-1)}=\frac{t+1}{(t+2)(t+1)}=\frac{1}{t+2}$（$t\ne -1$）。于是 $\frac{1}{(t+2{)}^2}=\frac{1}{t+2}$，解得 $t+2=1$，即 $t=-1$。此时 $k=1$，切线过 $(-1,0)$，故直线方程为 $y=x+1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 复合函数求导：(1) 中 $(\arctan x^2{)}^{\prime }=\frac{1}{1+(x^2{)}^2}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^4}$，漏乘内层 $x^2$ 的导数会错得 $\frac{1}{1+x^4}$。
• 设切点法：(2) 中切线过已知点且该点恰在曲线上时，仍需设切点验证是否为切点，不能想当然。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于1986年全国卷附加题，考查导数四则运算与过点切线问题，体现”在点”与”过点”切线的本质区别，是导数几何意义命题的经典母题。

2. 结论推广：$y=x^n\arctan (x^m)$ 的导数为 $n{x}^{n-1}\arctan (x^m)+\frac{m{x}^{n+m-1}}{1+x^{2m}}$。

3. 方法推广：求切线方程用「设切点 → 求斜率 → 代入已知点」三步。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-23 解-复合函数求导
• 1989-广东文-28 填-圆的切线方程