1990-全国文-21 解-等差数列与等比数列综合

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的综合应用。核心在于设未知数列方程组求解。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 $16$，第二个数与第三个数的和是 $12$.求这四个数.

🔍【思路分析】

破题导航

设四个数依次为 $x,y,z,w$，由等差、等比及两和条件列方程组求解。

✅【答案】

Success

$0,4,8,16$ 或 $15,9,3,1$

✍【详细解析】

Abstract

设四个数依次为 $x,y,z,w$。前三个成等差：$2y=x+z$；后三个成等比：$z^2=yw$；且 $x+w=16$、$y+z=12$。由 $y+z=12$ 得 $z=12-y$，$x=2y-z=3y-12$，$w=16-x=28-3y$。代入 $z^2=yw$：$(12-y{)}^2=y(28-3y)$，整理 $4y^2-52y+144=0$，即 $y^2-13y+36=0$，得 $y=4$ 或 $9$。当 $y=4$：$(x,z,w)=(0,8,16)$；当 $y=9$：$(x,z,w)=(15,3,1)$。故四个数为 $0,4,8,16$ 或 $15,9,3,1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与等比数列综合

核心方法：设未知数列方程组解等差数列与等比数列综合问题。

避坑指南：方程组综合

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差等比综合用方程组。

结论推广：等差中项 2b=a+c。

方法推广：注意两组解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1991-全国文-24 解-等差与等比数列综合
• 1991-三南-28 解-等差等比数列通项综合
• 1993-上海-25 解-等差数列的判定与直线