1986-全国文-22 解-递推数列与极限

本题导读

本题考查递推数列的通项公式与极限。核心在于发现相邻两项之差构成等比数列。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$，其中 $a_1=\frac{4}{3}$，$a_2=\frac{13}{9}$，且当 $n\ge 3$ 时，$a_n-a_{n-1}=\frac{1}{3}(a_{n-1}-a_{n-2})$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)求 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

令 $d_n=a_n-a_{n-1}$，则 $d_n=\frac{1}{3}{d}_{n-1}$，$d_2=\frac{1}{9}$，累加求通项。

✅【答案】

Success

(1) $a_n=\frac{3}{2}-\frac{1}{2\cdot 3^n}$

(2) $\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)令 $d_n=a_n-a_{n-1}$。$d_2=a_2-a_1=\frac{13}{9}-\frac{4}{3}=\frac{1}{9}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2$。当 $n\ge 3$ 时 $d_n=\frac{1}{3}{d}_{n-1}$，故 $d_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$（$n\ge 2$）。累加：$a_n=a_1+{\sum }_{k=2}^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^k=\frac{4}{3}+\frac{\frac{1}{9}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\right]}{1-\frac{1}{3}}=\frac{4}{3}+\frac{1}{6}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\right]=\frac{3}{2}-\frac{1}{2\cdot 3^n}$。$n=1$ 时右端 $=\frac{3}{2}-\frac{1}{6}=\frac{4}{3}=a_1$，故通项对 $n\ge 1$ 成立。 (2)$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\frac{3}{2}-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2\cdot 3^n}=\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列与极限

核心方法：令 $d_n=a_n-a_{n-1}$，则 $d_n=\frac{1}{3}{d}_{n-1}$，$d_2=\frac{1}{9}$。

避坑指南：$d_n=(\frac{1}{3}{)}^n$，$a_n=\frac{4}{3}+{\sum }_{k=2}^n(\frac{1}{3}{)}^k=\frac{3}{2}-\frac{1}{2\cdot 3^n}$，极限 $\frac{3}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：递推数列不动点/累加。

结论推广：相邻差成等比。

方法推广：累加求通项再取极限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-20 解-数列的通项与极限
• 1988-全国文-25 解-分段数列求和
• 1990-全国文-21 解-等差数列与等比数列综合