1988-全国文-25 解-分段数列求和

本题导读

本题考查分段数列的求和。核心在于分奇偶项分别用等差、等比求和。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(文)） 一个数列 $\{a_n\}$：当 $n$ 为奇数时，$a_n=5n+1$；当 $n$ 为偶数时，$a_n=2^{\frac{n}{2}}$.求这个数列的前 $2m$ 项的和（$m$ 是正整数）.

🔍【思路分析】

破题导航

奇数项 $a_{2k-1}=10k-4$ 等差，偶数项 $a_{2k}=2^k$ 等比。

✅【答案】

Success

$5m^2+m+2^{m+1}-2$

✍【详细解析】

Abstract

前 $2m$ 项中奇数项 $a_{2k-1}=5(2k-1)+1=10k-4$（$k=1,\dots ,m$），偶数项 $a_{2k}=2^k$。 $S_{2m}={\sum }_{k=1}^m(10k-4)+{\sum }_{k=1}^m{2}^k=10\cdot \frac{m(m+1)}{2}-4m+(2^{m+1}-2)=5m^2+5m-4m+2^{m+1}-2=5m^2+m+2^{m+1}-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段数列求和

核心方法：分段数列分奇偶项分别求和。

避坑指南：奇数项等差，偶数项等比。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段数列求和。

结论推广：奇偶分组。

方法推广：等差等比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-21 解-等差数列与等比数列综合
• 1990-广东文-34 解-等差数列与三角函数综合
• 1991-三南-28 解-等差等比数列通项综合