1987-广东理-34 解-等比数列与数列最值

本题导读

本题考查等比数列与错位相减求和，核心在于分类讨论奇偶项。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 设实数 $a\ne 0$，数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $a$，公比为 $-a$ 的等比数列，记 $b_n=a_n\lg |a_n|$，$n=1,2,\cdots$；$S_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$，$n=1,2,\cdots$.(1)求证：当 $a\ne -1$ 时，对任意自然数 $n$，都有 $S_n=\frac{a\lg |a|}{(1+a{)}^2}\left[1+(-1{)}^{n+1}(1+n+na)a^n\right]$；(2)请问：当 $0<a<1$ 时，是否存在自然数 $M$，使得对任意自然数 $n$，都有 $b_n\le b_M$？证明你的结论.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$a_n=(-1{)}^{n-1}{a}^n$，错位相减求 $S_n$；（2）分析 $b_n$ 奇偶项单调性。

✅【答案】

Success

(1)见解析；(2)存在，取 $M=2K+2$（$K$ 为不大于 $\frac{a^2}{1-a^2}$ 的最大整数）

✍【详细解析】

Abstract

（1）$a_n=a(-a{)}^{n-1}=(-1{)}^{n-1}{a}^n$，$b_n=(-1{)}^{n-1}n{a}^n\lg |a|$，故 $S_n=(a\lg |a|)[1-2a+3a^2+\cdots +(-1{)}^{n-1}n{a}^{n-1}]$，错位相减得 $S_n=\frac{a\lg |a|}{(1+a{)}^2}[1+(-1{)}^{n+1}(1+n+na)a^n]$。（2）当 $0<a<1$ 时，$b_n$ 中偶数项 $b_{2k}>0$、奇数项 $b_{2k-1}<0$。考察 $b_{2k+2}-b_{2k}$，其符号由 $k-\frac{a^2}{1-a^2}$ 决定，故偶数项先增后减，取 $M=2K+2$（$K$ 为不大于 $\frac{a^2}{1-a^2}$ 的最大整数）时对任意 $n$ 有 $b_n\le b_M$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列与数列最值

核心方法：等比数列 $a_n=(-1{)}^{n-1}{a}^n$，错位相减求 $S_n$。

避坑指南：$S_n=\frac{a\lg |a|}{(1+a{)}^2}[1+(-1{)}^{n+1}(1+n+na)a^n]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列与错位相减。

结论推广：错位相减法求 $S_n$。

方法推广：分类讨论奇偶项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-19 单-等比数列的前n项和
• 1990-全国文-21 解-等差数列与等比数列综合
• 1988-全国文-25 解-分段数列求和