1987-广东文-34 解-数列的求和与证明

本题导读

本题考查三角数列的求和与恒等式证明。核心在于偶数项为零、奇数项成等比数列。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(文)） 设 $|\theta |<\frac{\pi }{2}$，数列 $\{a_n\}$ 的通项是 $a_n=\sin \frac{n\pi }{2}\cdot {\tan }^n\theta$，记 $S_{2n}=a_1+a_2+\cdots +a_{2n-1}+a_{2n}$.

(1)求证：对任何自然数 $n$，$S_{2n}=\frac{1}{2}(\sin 2\theta )\left[1+(-1{)}^{n+1}{\tan }^{2n}\theta \right]$；

(2)求证：当 $n\ge 2$ 时，$a_n^2+a_{n-1}{a}_{n+1}+(-1{)}^n(a_1^n{)}^2=0$.（★校勘：答案册文本层将末项印作 $(a_n^1{)}^2$，系上下标错乱，按其解析还原为 $(a_1^n{)}^2$.）

🔍【思路分析】

破题导航

（1）偶数项为零，奇数项 $a_{2k-1}=(-1{)}^{k+1}{\tan }^{2k-1}\theta$ 成等比，求和后用 $\frac{\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }=\frac{1}{2}\sin 2\theta$；（2）按 $n$ 的奇偶分类验证。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）$a_{2k}=\sin k\pi \cdot {\tan }^{2k}\theta =0$；$a_{2k-1}=\sin \frac{(2k-1)\pi }{2}\cdot {\tan }^{2k-1}\theta =(-1{)}^{k+1}{\tan }^{2k-1}\theta$。故奇数项依次为 $\tan \theta ,-{\tan }^3\theta ,\cdots ,(-1{)}^{n+1}{\tan }^{2n-1}\theta$，是首项 $\tan \theta$、公比 $-{\tan }^2\theta$ 的等比数列（共 $n$ 项），$S_{2n}=\frac{\tan \theta \left[1-(-{\tan }^2\theta {)}^n\right]}{1+{\tan }^2\theta }=\frac{\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }\left[1+(-1{)}^{n+1}{\tan }^{2n}\theta \right]=\frac{1}{2}\sin 2\theta \left[1+(-1{)}^{n+1}{\tan }^{2n}\theta \right]$。 （2）当 $n=2k$ 时，$a_n=0$，$a_{n-1}{a}_{n+1}=(-1{)}^{k+1}{\tan }^{2k-1}\theta \cdot (-1{)}^{k+2}{\tan }^{2k+1}\theta =-{\tan }^{4k}\theta$，而 $(-1{)}^n(a_1^n{)}^2={\tan }^{4k}\theta$，两项相消；当 $n=2k-1$ 时，$a_{n-1}{a}_{n+1}=0$，$a_n^2={\tan }^{4k-2}\theta$，而 $(-1{)}^n(a_1^n{)}^2=-{\tan }^{4k-2}\theta$，两项相消。故 $n\ge 2$ 时恒有 $a_n^2+a_{n-1}{a}_{n+1}+(-1{)}^n(a_1^n{)}^2=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的求和与证明

核心方法：偶数项为零，奇数项成等比，求和并证恒等式。

避坑指南：$S_{2n}=\frac{1}{2}\sin 2\theta [1+(-1{)}^{n+1}{\tan }^{2n}\theta ]$；第(2)问末项是 $(a_1^n{)}^2={\tan }^{2n}\theta$（答案册文本层上下标错乱印作 $(a_n^1{)}^2$，按其解析还原）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列求和证明。

结论推广：奇偶项分类。

方法推广：等比求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-25 解-分段数列求和
• 1990-全国文-21 解-等差数列与等比数列综合
• 1987-全国文-20 解-数列的通项与极限