1987-全国文-20 解-数列的通项与极限

本题导读

本题考查 $S_n$ 与 $a_n$ 关系的递推求通项，以及等比数列极限。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(文)） 设数列 $a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$ 的前 $n$ 项的和 $S_n$ 与 $a_n$ 满足 $S_n=k{a}_n+1$（其中 $k$ 是与 $n$ 无关的常数，且 $k\ne 1$）.(1)试写出用 $n$，$k$ 表示的 $a_n$ 的表达式；(2)若 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=1$，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 求递推式，得等比数列通项；再由极限条件求 $k$。

✅【答案】

Success

(1)$a_n=-\frac{k^{n-1}}{(k-1{)}^n}$（$k\ne 0$）；当 $k=0$ 时 $a_1=1$，$a_n=0$（$n>1$）。(2)$k<\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=k(a_{n+1}-a_n)$，得 $(k-1)a_{n+1}=k{a}_n$，即 $a_{n+1}=\frac{k}{k-1}{a}_n$。故 $\{a_n\}$ 是公比 $\frac{k}{k-1}$ 的等比数列，首项 $a_1=S_1=k{a}_1+1\Rightarrow a_1=\frac{1}{1-k}$，于是 $a_n=\frac{1}{1-k}{\left(\frac{k}{k-1}\right)}^{n-1}=-\frac{k^{n-1}}{(k-1{)}^n}$。（2）${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=1$ 即 ${\lim }_{n\to \infty }(k{a}_n+1)=1$，需 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$，即 $\left|\frac{k}{k-1}\right|<1$，解得 $k<\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的通项与极限

核心方法：由 $S_n=k{a}_n+1$ 得 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=k(a_{n+1}-a_n)$，解出递推式。

避坑指南：$a_n=-\frac{k^{n-1}}{(k-1{)}^n}(k\ne 0)$；$\lim S_n=1$ 时 $k<\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_n$ 与 $a_n$ 关系的递推。

结论推广：$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 求通项。

方法推广：由极限条件求参数范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-25 解-分段数列求和
• 1989-全国文-04 单-等比数列与数列极限
• 1990-全国文-21 解-等差数列与等比数列综合