1989-全国文-04 单-等比数列与数列极限

本题导读

本题考查等比数列的通项与无穷等比数列求和。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是等比数列，如果 $a_1+a_2=12$，$a_2+a_3=-6$，且 $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$，那么 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ 的值等于()

A. 8　　　　　　　　　B. 16　　　　　　　　　C. 32　　　　　　　　　D. 48

🔍【思路分析】

破题导航

由两式求公比 $q$，用无穷等比数列求和公式求极限。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设公比为 $q$，则 $a_1(1+q)=12$，$a_{1}q(1+q)=-6$。两式相除得 $q=-\frac{1}{2}$，故 $|q|<1$，且 $a_1=\frac{12}{1+q}=\frac{12}{1/2}=24$。于是 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{24}{1+1/2}=16$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列与数列极限

核心方法：由等比关系求公比，用无穷等比数列求和公式求极限。

避坑指南：等比求和+极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：无穷等比数列和 S=a1/(1−q)。

结论推广：|q|<1 时收敛。

方法推广：公比绝对值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1991-上海-06 填-无穷等比数列奇项和
• 1992-三南-14 单-等比数列的运算
• 1990-广东文-28 填-等比数列与数列极限