1987-全国卷理-22 解-重要极限

本题导读

本题考查两个重要极限、自然对数的底数 $e$ 的定义。核心在于构造标准不变量形式法、换元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 求极限： ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1-\frac{1}{2x}\right)}^x$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别未定式结构： 当 $x\to \infty$ 时，底数 $1-\frac{1}{2x}\to 1$，指数 $x\to \infty$。这是一个经典的 $1^{\infty }$ 型重要极限未定式。
2. 匹配标准不变量模型： 回顾关于自然底数 $e$ 的核心重要极限公式： ${\lim }_{t\to \infty }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e,\text{或}{\lim }_{k\to \infty }{\left(1-\frac{1}{k}\right)}^k=e^{-1}$
3. 执行指数配对恒等变形： 底数项中分母为 $2x$ 且带有负号。为了在指数端构造出完全互为倒数的不变结构，需要将指数 $x$ 强行拆分为 $\left[(-2x)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right]$，利用幂的乘方性质分离外推。

✅【答案】

Success

${\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$

✍【详细解析】

Abstract

解法一（构造标准不变量形式法）：

根据 $1^{\infty }$ 型未定式的极限处理原则，必须使底数中分式的分母与指数项在代数结构（包含符号）上保持完全的对偶倒数关系。 将原目标极限式的指数 $x$ 进行恒等变形，强行引入因式 $-2x$： ${\left(1-\frac{1}{2x}\right)}^x={\left(1+\frac{1}{-2x}\right)}^{(-2x)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}\text{(1)}$

根据幂的乘方运算法则 $(a^{mn})=(a^m{)}^n$，将式 ① 改写为双重嵌套结构： ${\left(1+\frac{1}{-2x}\right)}^{(-2x)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}={\left[{\left(1+\frac{1}{-2x}\right)}^{-2x}\right]}^{-\frac{1}{2}}\text{(2)}$

因为当 $x\to \infty$ 时，线性映射项必有 $-2x\to \infty$。 根据第二个重要极限公式的推广形式，当内层整体变量趋于无穷大时，满足： ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{-2x}\right)}^{-2x}=e\text{(3)}$

利用复合函数极限的连续性算子性质，将极限符号直接引入到外层幂次的内部： ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1-\frac{1}{2x}\right)}^x={\left[{\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{-2x}\right)}^{-2x}\right]}^{-\frac{1}{2}}\text{(4)}$

将式 ③ 的基本不变量 $e$ 注入到式 ④ 的内核中： $\text{原式}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}=\frac{\sqrt{e}}{e}\text{⑤}$

解法二（变量代换换元法）：

引入新自变量进行整体换元，令： $t=-2x⟹x=-\frac{t}{2}\text{⑥}$ 当原自变量 $x\to \infty$ 时，新变量无条件满足 $t\to \infty$。

将式 ⑥ 的换元映射完全替换到原极限方程中： ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1-\frac{1}{2x}\right)}^x={\lim }_{t\to \infty }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-\frac{t}{2}}\text{⑦}$

利用指数分配率进行标准型拆分： ${\lim }_{t\to \infty }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-\frac{t}{2}}={\lim }_{t\to \infty }{\left[{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t\right]}^{-\frac{1}{2}}\text{⑧}$

直接调用核心定义极限 ${\lim }_{t\to \infty }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t\equiv e$，式 ⑧ 直接输出： $\text{原式}=e^{-\frac{1}{2}}\text{⑨}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：第二个重要极限标准模型的演进、复合函数连续性下的极限符号移位。
2. 核心方法：构造标准不变量形式法、换元法。
3. 避坑指南：
   • 严防符号与系数丢漏的通病：很多初学者在配凑指数时，往往只注意到数字 2 而写成 ${\left[(1-\frac{1}{2x}{)}^{2x}\right]}^{\frac{1}{2}}\to e^{\frac{1}{2}}$，彻底忽略了底数分式前自带的负号。分母是 $-2x$，则内部指数必须完美配凑出 $-2x$，从而多出一个 $-1$ 的幂次修正因子。
   • 结果写成 $e^{-\frac{1}{2}}$、 $\frac{1}{\sqrt{e}}$ 或 $\frac{\sqrt{e}}{e}$ 均属于完全标准的完备代数形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1987 年全国高考理科卷的附加题第 22 题（第一道附加题）。其高等数学背景为数学分析中初等超越函数在广义不定式域上的欧拉常数（Euler’s constant）轨道渐近线（Asymptote）收敛解析。
2. 结论推广：在全域复数或实数极限系统拓扑中，对于通用的 $1^{\infty }$ 莫比乌斯复合幂次极限，存在下列高度一致的齐次控制常数通轴恒等式（其中 $A,B$ 为任意不为 0 的常数标量）： ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{A}{x}\right)}^{Bx}\equiv e^{AB}$ 在本题特定标量参数中（ $A=-\frac{1}{2},B=1$ ），直接代入上述高级推广通式进行核算： $\text{原式}=e^{\left(-\frac{1}{2}\right)\times 1}=e^{-\frac{1}{2}}$ 两方法输出不变量完全合龙。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

1988-全国文-20 填-数列极限 1989-全国文-04 单-等比数列与数列极限 1990-全国文-18 填-等差数列与数列极限