1987-全国卷理-12 填-数列的极限

本题导读

本题考查数列极限，以及等差数列求和公式。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 求极限： ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\frac{3}{n^2+1}+\cdots +\frac{2n}{n^2+1}\right)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 括号内各项分母相同，把分子直接相加。
2. 分子是 $1$ 到 $2n$ 的等差数列，用求和公式 $S_k=\frac{k(a_1+a_k)}{2}$ 化简。
3. 分子、分母都是关于 $n$ 的二次多项式，同除以 $n^2$，取最高次项系数之比。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

解：

各项分母相同，直接合并分子： $\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\frac{3}{n^2+1}+\cdots +\frac{2n}{n^2+1}=\frac{1+2+3+\cdots +2n}{n^2+1}\text{(1)}$

分子是首项为 $1$、末项为 $2n$、项数为 $2n$ 的等差数列，由求和公式： $1+2+3+\cdots +2n=\frac{2n\cdot (1+2n)}{2}=n(2n+1)=2n^2+n\text{(2)}$

代入式 ①： ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\frac{3}{n^2+1}+\cdots +\frac{2n}{n^2+1}\right)={\lim }_{n\to \infty }\frac{2n^2+n}{n^2+1}\text{(3)}$

分子、分母同除以 $n^2$： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2n^2+n}{n^2+1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^2}}\text{(4)}$

因为 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$，${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n^2}=0$： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^2}}=\frac{2+0}{1+0}=2\text{⑤}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同分母分式求极限、等差数列求和、多项式分式求极限。
2. 核心方法：直接求和法。
3. 避坑指南：
   • 不必用夹逼定理：本题各项分母相同，直接通分求和即可，用夹逼定理反而增加步骤。
   • 注意等差数列的项数。末项是 $2n$，项数也是 $2n$，求和时不要误写成 $\frac{n(n+1)}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为《数列的极限》中分式极限计算的基础题。
2. 结论推广：对 $L={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^{pn}\frac{i}{n^2+q}$（$p>0$，$q$ 为常数）：
   • 分子 ${\sum }_{i=1}^{pn}i=\frac{pn(1+pn)}{2}=\frac{p^2{n}^2+pn}{2}$；
   • 分子、分母同除以 $n^2$，极限由二次项系数决定，与 $q$ 无关： $L=\frac{p^2}{2}$ 本题 $p=2,q=1$，代入得 $L=\frac{2^2}{2}=2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

1988-全国文-20 填-数列极限 1989-全国文-04 单-等比数列与数列极限 1990-全国文-18 填-等差数列与数列极限