1991-上海-06 填-无穷等比数列奇项和

本题导读

本题考查等比数列公比的求法，以及奇数项构成的无穷等比数列求和。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 在无穷等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=3\sqrt{3}$，$a_8=\sqrt{3}$.则 $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_1+a_3+a_5+\cdots +a_{2n-1})=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

先由 $a_8=a_1{q}^7$ 求公比 $q$，奇数项构成公比 $q^2$ 的无穷等比数列。

✅【答案】

Success

$\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_8=a_1{q}^7$ 得 $\sqrt{3}=3\sqrt{3}{q}^7$，故 $q^7=\frac{1}{3}$，即 $q=3^{-1/7}$，于是 $q^2=3^{-2/7}$，$|q^2|<1$。奇数项构成首项 $a_1=3\sqrt{3}$、公比 $q^2$ 的无穷等比数列，和为 $\frac{a_1}{1-q^2}$。因 $q^7=\frac{1}{3}$，$q^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^{2/7}=3^{-2/7}$，和为 $\frac{3\sqrt{3}}{1-3^{-2/7}}$。注：本题按答案册 $\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：无穷等比数列奇项和

核心方法：先求公比，再对奇数项构成的新等比数列求和取极限。

避坑指南：无穷等比数列求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇数项构成公比为 q² 的等比数列。

结论推广：无穷等比数列和 S=a₁/(1−q)（|q|<1）。

方法推广：注意新数列首项与公比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-19 填-无穷等比级数的和
• 1995-上海理-12 填-对数换底与无穷等比级数
• 1991-三南-22 填-数列的极限