1992-全国文-19 填-无穷等比级数的和

本题导读

本题考查无穷等比级数的和，以及数列的极限。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） ${\lim }_{n\to \infty }\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{1}{3^n}\right]$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

首项 $\frac{1}{3}$、公比 $-\frac{1}{3}$，和 $=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

这是无穷等比级数求和：首项 $a_1=\frac{1}{3}$，公比 $q=-\frac{1}{3}$，$|q|<1$。和 $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{3}}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：无穷等比级数的和

核心方法：无穷等比级数 $\frac{\frac{1}{3}}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{1}{4}$

避坑指南：首项 $\frac{1}{3}$、公比 $-\frac{1}{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于无穷等比级数

结论推广：$S=\frac{a_1}{1-q}$

方法推广：公比绝对值小于 1

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1993-上海-08 填-等比数列与无穷级数求和
• 1993-旧高考文-24 填-数列的极限
• 1998-全国卷文-15 单-等比数列公比与极限