1993-旧高考文-24 填-数列的极限

本题导读

本题考查数列的极限，以及同除最大增长项的化归。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 设 $a>1$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-a^{n+1}}{1+a^{n+1}}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分子分母同除 $a^{n+1}$，$a^{-(n+1)}\to 0$。

✅【答案】

Success

$-1$

✍【详细解析】

Abstract

分子分母同除 $a^{n+1}$：$\frac{1-a^{n+1}}{1+a^{n+1}}=\frac{a^{-(n+1)}-1}{a^{-(n+1)}+1}$。由 $a>1$ 知 $a^{-(n+1)}\to 0$，极限为 $\frac{-1}{1}=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的极限

核心方法：分子分母同除 $a^{n+1}$，由 $a^{-(n+1)}\to 0$ 得极限 $-1$

避坑指南：$a>1$ 时 $a^{-(n+1)}$ 是无穷小量，逐项取极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于数列极限的四则运算

结论推广：$\lim \frac{a^{n+1}-1}{a^{n+1}+1}$ 型同除最高次幂即可

方法推广：极限运算先同除增长最快的项

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1994-上海文-02 填-有理式的极限
• 1995-上海文-18A 填-数列的极限
• 1995-上海文-12 填-对数换底与无穷等比级数