1995-上海文-12 填-对数换底与无穷等比级数

本题导读

本题考查对数的换底公式与无穷等比级数的求和，核心在于先求 $x$ 再求无穷级数和。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(文)） 已知 ${\log }_{3}x=-\frac{1}{{\log }_{2}3}$，那么 $x+x^2+x^3+\cdots +x^n+\cdots =$　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由换底公式求 $x$。
2. 判断无穷等比级数收敛并求和。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

${\log }_{3}x=-\frac{1}{{\log }_{2}3}=-{\log }_{3}2={\log }_3\frac{1}{2}$，故 $x=\frac{1}{2}$。于是 $x+x^2+x^3+\cdots =\frac{x}{1-x}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数换底与无穷等比级数

核心方法：${\log }_{3}x=-\frac{1}{{\log }_{2}3}=-{\log }_{3}2={\log }_3\frac{1}{2}$，故 $x=\frac{1}{2}$；$x+x^2+\cdots =\frac{x}{1-x}=1$

避坑指南：换底求 $x$ 再等比求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数与等比数列

结论推广：一般地，换底求值再无穷等比求和

方法推广：换底求 $x$ 再等比求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1999-上海理-09 填-极坐标方程的焦点
• 1998-上海理-01 填-对数的运算
• 1997-上海理-13A 填-数列的极限