1993-旧高考文-07 单-等比数列与对数求和

本题导读

本题考查等比数列与对数求和，以及等比中项性质的成对配积。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)）在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{5} a_{6} = 9$ ，则 $lo g_{3} a_{1} + lo g_{3} a_{2} + \dots + lo g_{3} a_{10}$ 的值为 ()

A. 12　　　　　　B. 10　　　　　　C. 8　　　　　　D. 2+\log_35

🔍【思路分析】

破题导航

对数和 $= lo g_{3} \prod a_{k}$ ，而 $\prod_{k = 1}^{10} a_{k} = (a_{5} a_{6})^{5} = 3^{10}$ 。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$lo g_{3} a_{1} + \dots + lo g_{3} a_{10} = lo g_{3} (a_{1} a_{2} \dots a_{10})$ 。等比数列中 $a_{1} a_{10} = a_{2} a_{9} = \dots = a_{5} a_{6} = 9$ ，故积为 $9^{5} = 3^{10}$ ，对数和为 $10$ ，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列与对数求和

核心方法：由 $\prod_{k = 1}^{10} a_{k} = (a_{5} a_{6})^{5} = 3^{10}$ 得对数和为 $10$

避坑指南：对数和=真数乘积的对数，用等比中项性质成对配积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等比数列性质与对数运算

结论推广：等比数列前 $n$ 项之积= $($ 首末等距项对 $)$ 的乘积

方法推广：对数求和先转真数求积，用对称项配对

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

1994-上海-26 解-等比数列与递推数列的最值

2004-北京卷文-13 填-等比数列与二次函数最值

1995-上海文-12 填-对数换底与无穷等比级数

∑ ( Math )

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1993-旧高考文-07 单-等比数列与对数求和

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