1991-全国文-08 单-等比数列的性质

本题导读

本题考查等比数列的性质，以及整体配完全平方的化简。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)）已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{n} > 0$ ， $a_{2} a_{4} + 2 a_{3} a_{5} + a_{4} a_{6} = 25$ ，那么 $a_{3} + a_{5}$ 的值等于()

A. $5$ 　　　　　　　　　B. $10$ 　　　　　　　　　C. $15$ 　　　　　　　　　D. $20$

🔍【思路分析】

破题导航

设公比 $r$ 、 $a_{3} = t$ ，把各项用 $t, r$ 表示后配方。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设公比为 $r$ ，令 $a_{3} = t > 0$ ，则 $a_{2} = \frac{t}{r}$ ， $a_{4} = t r$ ， $a_{5} = t r^{2}$ ， $a_{6} = t r^{3}$ 。于是 $a_{2} a_{4} + 2 a_{3} a_{5} + a_{4} a_{6} = t^{2} (1 + 2 r^{2} + r^{4}) = t^{2} (1 + r^{2})^{2} = 25$ 。因 $t > 0$ ，得 $t (1 + r^{2}) = 5$ ，即 $a_{3} + a_{5} = t + t r^{2} = t (1 + r^{2}) = 5$ 。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的性质

核心方法： $a_{2} a_{4} + 2 a_{3} a_{5} + a_{4} a_{6} = t^{2} (1 + r^{2})^{2} = 25$ ， $a_{3} + a_{5} = t (1 + r^{2}) = 5$

避坑指南：设元整体配方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的性质

结论推广： $a_{m} a_{n} = a_{p} a_{q}$ （ $m + n = p + q$ ）

方法推广：整体配完全平方

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

1992-三南-14 单-等比数列的运算

1993-旧高考文-07 单-等比数列与对数求和

1995-全国卷文-23 解-等比数列前 n 项和的对数不等式证明

∑ ( Math )

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1991-全国文-08 单-等比数列的性质

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