1989-全国卷理-23 解-数列求和与待定系数

本题导读

本题考查数列求和、数学归纳法。核心在于特殊值代入法、递推消元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 是否存在常数 $a$，$b$，$c$ 使得等式 $1\cdot 2^2+2\cdot 3^2+\cdots +n(n+1{)}^2=\frac{n(n+1)}{12}(a{n}^2+bn+c)$ 对一切自然数 $n$ 都成立？并证明你的结论.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定待定系数： 题目要求等式对一切自然数 $n$ 都成立。可以先通过取特殊值 $n=1,2,3$ 代入等式，建立关于 $a,b,c$ 的三元一次方程组，解出可能的常数值。
2. 归纳法证明： 求出 $a,b,c$ 的具体数值后，原等式被唯一确定。为了验证其对一切自然数均成立，必须使用数学归纳法进行严格的逻辑证明。
3. 递推化简： 在数学归纳法的第二步（假设 $n=k$ 成立推导 $n=k+1$ 时），核心在于将第 $k+1$ 项 $（k+1)(k+2{)}^2$ 累加到前 $k$ 项和中，通过因式分解化简，验证其结构是否符合 $n=k+1$ 时的目标表达式。

✅【答案】

Success

存在，$a=3$，$b=11$，$c=10$（且唯一）

✍【详细解析】

Abstract

第一步：运用待定系数法求出 $a,b,c$ 的可能值

设原等式对一切自然数 $n$ 均成立。

• 当 $n=1$ 时，左边 $=1\times 2^2=4$，右边 $=\frac{1\times 2}{12}(a\times 1^2+b\times 1+c)=\frac{1}{6}(a+b+c)$。 可得方程： $\frac{1}{6}(a+b+c)=4⟹a+b+c=24\text{(1)}$

• 当 $n=2$ 时，左边 $=4+2\times 3^2=4+18=22$，右边 $=\frac{2\times 3}{12}(a\times 2^2+b\times 2+c)=\frac{1}{2}(4a+2b+c)$。 可得方程： $\frac{1}{2}(4a+2b+c)=22⟹4a+2b+c=44\text{(2)}$

• 当 $n=3$ 时，左边 $=22+3\times 4^2=22+48=70$，右边 $=\frac{3\times 4}{12}(a\times 3^2+b\times 3+c)=9a+3b+c$。 可得方程： $9a+3b+c=70\text{(3)}$

联立方程组 ①、②、③：

$$\{\begin{array}{ll}a+b+c=24& \text{(1)}\\ 4a+2b+c=44& \text{(2)}\\ 9a+3b+c=70& \text{(3)}\end{array}$$

由 ② - ① 得： $3a+b=20\text{(4)}$ 由 ③ - ② 得： $5a+b=26⑤$ 由 ⑤ - ④ 得： $2a=6⟹a=3$

将 $a=3$ 代入 ④ 得： $3(3)+b=20⟹b=11$

将 $a=3,b=11$ 代入 ① 得： $3+11+c=24⟹c=10$

因此，如果存在满足题意的常数，其值只能是 $a=3,b=11,c=10$。 此时，原等式化为： $1\cdot 2^2+2\cdot 3^2+\cdots +n(n+1{)}^2=\frac{n(n+1)}{12}(3n^2+11n+10)⑥$ 由于 $3n^2+11n+10=(3n+5)(n+2)$，⑥ 式可进一步因式分解简记为： $1\cdot 2^2+2\cdot 3^2+\cdots +n(n+1{)}^2=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}⑦$

第二步：用数学归纳法证明等式 ⑦ 对一切自然数 $n$ 均成立

1. 当 $n=1$ 时： 左边 $=1\times 2^2=4$。 右边 $=\frac{1\times (1+1)\times (1+2)\times (3\times 1+5)}{12}=\frac{1\times 2\times 3\times 8}{12}=\frac{48}{12}=4$。 左边 $=$ 右边，等式成立。

2. 假设当 $n=k$ （$k$ 为自然数）时等式成立： 即假设： $1\cdot 2^2+2\cdot 3^2+\cdots +k(k+1{)}^2=\frac{k(k+1)(k+2)(3k+5)}{12}$

   那么，当 $n=k+1$ 时：

   左边 &= [1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 + \cdots + k(k + 1)^2] + (k + 1)(k + 2)^2 \\ &= \frac{k(k + 1)(k + 2)(3k + 5)}{12} + (k + 1)(k + 2)^2 \end{aligned}$$ 提取公因式 $\frac{(k + 1)(k + 2)}{12}$ 得： $$\begin{aligned} 左边 &= \frac{(k + 1)(k + 2)}{12} \cdot [k(3k + 5) + 12(k + 2)] \\ &= \frac{(k + 1)(k + 2)}{12} \cdot [3k^2 + 5k + 12k + 24] \\ &= \frac{(k + 1)(k + 2)}{12} \cdot [3k^2 + 17k + 24] \end{aligned}$$ 对二次多项式 $3k^2 + 17k + 24$ 进行十字相乘法因式分解： $$3k^2 + 17k + 24 = (3k + 8)(k + 3)$$ 代入上式变形为： $$左边 = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)(3k + 8)}{12}$$ 而当 $n = k + 1$ 时，目标右边表达式为： $$\begin{aligned} 右边 &= \frac{(k + 1)[(k + 1) + 1][(k + 1) + 2][3(k + 1) + 5]}{12} \\ &= \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)(3k + 8)}{12} \end{aligned}$$ 此时，左边 $=$ 右边。说明当 $n = k + 1$ 时，等式同样成立。

根据 (1) 和 (2)，等式对一切自然数 $n$ 均成立。

结论： 存在满足条件的常数，其值分别为 $a=3,b=11,c=10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 探究性问题的基本证法，待定系数法解线性方程组，数学归纳法的多项式因式分解步骤。
2. 核心 method： 归纳递推化简。在由 $n=k$ 向 $n=k+1$ 递推时，切忌将两部分全部彻底展开为高次多项式再对齐。应优先提取公因式 $\frac{(k+1)(k+2)}{12}$，对剩余的二次多项式单独化简，可大幅降低运算出错率。
3. 避坑指南： - 容易在通过特殊值求出 $a,b,c$ 后直接作为最终结论输出，忽略了题目中“对一切自然数成立”的全面性限制。不使用数学归纳法补充证明会导致解答题严重失分。
   • 分解因式符号错误。化简过程中的 $3k^2+17k+24$ 需准确拆分为 $(3k+8)(k+3)$，对齐公式中 $3(k+1)+5=3k+8$ 的逻辑结构。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于数列求和与待定系数法的经典结合，考查“先猜后证”的数学思想——由特殊值确定参数，再用数学归纳法证明恒成立，是归纳法与方程思想的综合应用。

结论推广：一般地，形如 ${\sum }_{k=1}^{n}k(k+1{)}^2$ 的求和可推广为 ${\sum }_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$ 等连乘型求和，其和均为关于 $n$ 的四次多项式且可分解为连续因式之积；更一般地，${\sum }_{k=1}^{n}k(k+1)\cdots (k+m)$ 可表为 $\frac{n(n+1)\cdots (n+m+1)}{m+2}$。

方法推广：待定系数法确定参数、数学归纳法完成证明的“猜证结合”模式，是处理含参数恒等式与数列求和问题的通法，可迁移至求 $\sum k^2$、$\sum k^3$ 等幂和公式的探究。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-26 解-数学归纳法证明数列猜想
• 1991-三南-30 解-单调性与数学归纳法
• 1991-全国文-08 单-等比数列的性质