1991-三南-30 解-单调性与数学归纳法

本题导读

本题考查函数单调性的证明与数列不等式的证明，核心在于用定义法证单调性、用数学归纳法证指数不等式。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 已知函数 $f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$.

(1) 证明：$f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上是增函数；

(2) 证明：对于任意不小于 $3$ 的自然数 $n$，都有 $f(n)>\frac{n}{n+1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 用定义法作差证单调递增；(2) 化简不等式转化为 $2^n>2n+1$，用数学归纳法证明。

✅【答案】

Success

证明略

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $x_2>x_1$，则 $2^{x_2}>2^{x_1}>0$，$f(x_2)-f(x_1)=\frac{2^{x_2}-1}{2^{x_2}+1}-\frac{2^{x_1}-1}{2^{x_1}+1}=\frac{2(2^{x_2}-2^{x_1})}{(2^{x_2}+1)(2^{x_1}+1)}>0$，故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上增函数。 （2）因 $2^n+1>0$、$n+1>0$，$f(n)>\frac{n}{n+1}$ 等价于 $(n+1)(2^n-1)>n(2^n+1)$，即 $2^n>2n+1$。当 $n=3$ 时 $2^3=8>7=2\cdot 3+1$ 成立。假设 $n=k(k⩾3)$ 时 $2^k>2k+1$ 成立，则 $2^{k+1}=2\cdot 2^k>2(2k+1)=4k+2>2k+3=2(k+1)+1$，故 $n=k+1$ 时也成立。由数学归纳法，对任意 $n⩾3$ 都有 $2^n>2n+1$，从而 $f(n)>\frac{n}{n+1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：单调性与数学归纳法

核心方法：(1)作差 f(x2)−f(x1)=2(2^x2−2^x1)/[(2^x2+1)(2^x1+1)]>0，增函数；(2)证 2ⁿ>2n+1 用数学归纳法。

避坑指南：定义法+数学归纳法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：单调性证明用定义法取值作差变形判号。

结论推广：指数不等式 2ⁿ>2n+1 用数学归纳法证。

方法推广：函数单调性与数列不等式结合是经典综合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-上海-12 单-函数的单调性
• 1993-新高考文-26 解-数学归纳法证明数列猜想
• 1994-上海-25 解-分段面积函数与单调性