1989-全国文-22 解-数学归纳法证明

本题导读

本题考查数学归纳法证明恒等式。核心在于奠基与归纳递推两步。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(文)） 用数学归纳法证明：$(1\cdot 2^2-2\cdot 3^2)+(3\cdot 4^2-4\cdot 5^2)+\cdots +[(2n-1)(2n{)}^2-2n(2n+1{)}^2]=-n(n+1)(4n+3)$.

🔍【思路分析】

破题导航

记左端为 $T_n$，验证 $n=1$，假设 $n=k$ 成立证 $n=k+1$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

记左端为 $T_n$。当 $n=1$ 时，$T_1=1\cdot 2^2-2\cdot 3^2=4-18=-14=-1\cdot 2\cdot 7$，成立。假设 $n=k$ 时 $T_k=-k(k+1)(4k+3)$，则 $T_{k+1}=T_k+(2k+1)(2k+2{)}^2-(2k+2)(2k+3{)}^2=-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)[(2k+1)(2k+2)-(2k+3{)}^2]=-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(6k+7)=-(k+1)(4k^2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)$。这正是 $n=k+1$ 时右端。由数学归纳法，原等式对一切正整数 $n$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数学归纳法证明

核心方法：用数学归纳法证明等式。

避坑指南：数学归纳法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数学归纳法两步。

结论推广：奠基+递推。

方法推广：归纳假设

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 26.02 数学归纳法

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-26 解-数学归纳法证明数列猜想
• 1991-三南-30 解-单调性与数学归纳法
• 1994-上海-20 单-数学归纳法的逻辑推理