1985-全国文-11 解-数学归纳法证明数列公式

本题导读

本题考查数学归纳法。核心在于写出 $S_{k+1}$ 与 $S_k$ 的递推关系并代入归纳假设。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 设 $S_1=1^2$，$S_2=1^2+2^2+1^2$，$S_3=1^2+2^2+3^2+2^2+1^2$，$\cdots$，$S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2+\cdots +3^2+2^2+1^2$，$\cdots$.用数学归纳法证明：公式 $S_n=\frac{n(2n^2+1)}{3}$ 对所有的正整数 $n$ 都成立.

🔍【思路分析】

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$S_{k+1}$ 比 $S_k$ 多出 $(k+1{)}^2$ 与 $k^2$ 两项，代入 $S_k$ 的归纳假设。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

令 $P(n)$ 表示命题 $S_n=\frac{n(2n^2+1)}{3}$。 当 $n=1$ 时，$S_1=1^2=1$，而 $\frac{1\times (2\times 1^2+1)}{3}=1$，所以 $P(1)$ 成立。 假设 $P(k)$ 成立，即 $S_k=\frac{k(2k^2+1)}{3}$。根据 $S_n$ 的定义，$S_{k+1}$ 比 $S_k$ 多出 $k^2$ 和 $(k+1{)}^2$，因此 $S_{k+1}=S_k+k^2+(k+1{)}^2=\frac{k(2k^2+1)}{3}+2k^2+2k+1=\frac{2k^3+6k^2+7k+3}{3}$。又因为 $2k^3+6k^2+7k+3=(k+1)\left(2(k+1{)}^2+1\right)$，所以 $S_{k+1}=\frac{(k+1)\left(2(k+1{)}^2+1\right)}{3}$，即 $P(k+1)$ 成立。由数学归纳法，公式对所有的正整数 $n$ 都成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数学归纳法证明数列公式

核心方法：$S_{k+1}=S_k+k^2+(k+1{)}^2$，代入归纳假设。

避坑指南：化成 $(k+1)\left(2(k+1{)}^2+1\right)/3$ 即完成第二步。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1989 全国文第 22 题同考归纳法。

结论推广：归纳第二步的关键是写出 $S_{k+1}$ 与 $S_k$ 的递推关系。

方法推广：$1^2+2^2+\cdots +n^2$ 型对称和可拆为 $2(1^2+\cdots +n^2)-n^2$ 辅助验证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法
• 1989-全国文-22 解-数学归纳法证明