1977-湖南-08 解-四次幂和归纳证明

本题导读

本题考查数学归纳法证幂和公式。核心在于归纳假设代入后按 $(k+1)$ 的因子结构分解五次多项式。

📌【题干】

Question

（1977年湖南卷） 用数学归纳法或其他方法证明：$1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)\left(3n^2+3n-1\right)}{30}$.

🔍【思路分析】

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归纳法：验证 $n=1$；假设 $n=k$ 成立，加 $(k+1{)}^4$ 通分后按 $(k+1)$ 因子分解。另法：借助 $\sum i^k$ 的递推公式逐级求 $S_4$。

✅【答案】

Success

$1^4+2^4+\cdots +n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)\left(3n^2+3n-1\right)}{30}$，证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

方法一（数学归纳法）：当 $n=1$ 时，左边 $=1$，右边 $=\frac{1\times 2\times 3\times 5}{30}=1$，等式成立。假定 $n=k$ 时等式成立，即 $1^4+\cdots +k^4=\frac{k(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1)}{30}$。则 $1^4+\cdots +k^4+(k+1{)}^4=\frac{(k+1)\left[k(2k+1)(3k^2+3k-1)+30(k+1{)}^3\right]}{30}=\frac{(k+1)(6k^4+39k^3+91k^2+89k+30)}{30}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)\left(3k^2+9k+5\right)}{30}=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]\left[3(k+1{)}^2+3(k+1)-1\right]}{30}$，即 $n=k+1$ 时等式也成立。故对任意自然数 $n$ 等式成立。方法二（递推法）：记 $S_k=1^k+2^k+\cdots +n^k$，可证递推公式 ${\mathrm{C}}_{k+1}^k{S}_k+{\mathrm{C}}_{k+1}^{k-1}{S}_{k-1}+\cdots +{\mathrm{C}}_{k+1}^1{S}_1=(n+1{)}^{k+1}-(n+1)$。依次令 $k=1,2,3$ 得 $S_1=\frac{n(n+1)}{2}$，$S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，$S_3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$；令 $k=4$ 得 $S_4=\frac{(n+1{)}^5-(n+1)-5S_1-10S_2-10S_3}{5}=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四次幂和归纳证明

核心方法：归纳法凑目标结构

避坑指南：通分后按 $(k+1)$ 因子分解五次式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：幂和公式

结论推广：${\sum }_{i=1}^n{i}^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$

方法推广：幂和递推可逐级推出 $S_2,S_3,S_4$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 26.02 数学归纳法

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-11 解-数学归纳法证明数列公式
• 1977-安徽理-08 解-计数与归纳法