1977-宁夏-16 解-三角幂和求值

本题导读

本题考查三角幂和求值（附加题）。核心在于平方得 sinαcosα，再递推求 sin⁴+cos⁴ 与 sin⁵+cos⁵。

📌【题干】

Question

（1977年宁夏卷） 已知 $\cos \alpha +\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$，试求：(1)${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha$；(2)${\sin }^5\alpha +{\cos }^5\alpha$.

🔍【思路分析】

破题导航

平方得 $1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{2}$，$\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{1}{4}$；再用降幂与递推。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{7}{8}$；(2)$\frac{19\sqrt{2}}{32}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 $\cos \alpha +\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$ 两边平方得 $1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{2}$，故 $\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{1}{4}$。则 ${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha =({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha {)}^2-2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =1-2{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{7}{8}$。(2)${\sin }^5\alpha +{\cos }^5\alpha =({\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha )(\sin \alpha +\cos \alpha )-\sin \alpha \cos \alpha ({\sin }^3\alpha +{\cos }^3\alpha )=(\sin \alpha +\cos \alpha )\left[({\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha )-\sin \alpha \cos \alpha (\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2+3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha \right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{7}{8}-\left(-\frac{1}{4}\right){\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+3{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2\right]=\frac{19\sqrt{2}}{32}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角幂和求值

核心方法：平方 + 降幂 + 递推求 sin⁴+cos⁴ 与 sin⁵+cos⁵

避坑指南：sinαcosα=-1/4；sin⁴α+cos⁴α=7/8；sin⁵α+cos⁵α=19√2/32。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角幂和，考查平方与降幂递推。

结论推广：由 sinα+cosα 与 sinαcosα 可递推求 sinⁿα+cosⁿα。

方法推广：先平方得 sinαcosα=-1/4，再逐次降幂。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.04 三角平方差公式

类题演练 (Links)

• 1977-湖南-08 解-四次幂和归纳证明
• 1977-广东-04 解-切余互化证恒等