1977-贵州-12 解-收敛数列证明

本题导读

本题考查收敛性证明（参考题，大学内容照录）。核心在于单调上升加裂项放缩找上界。

📌【题干】

Question

（1977年贵州卷） 证明 $S_1=1$，$S_2=1+\frac{1}{2^2}$，$S_3=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}$，…，$S_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}$，… 是收敛数列.

🔍【思路分析】

破题导航

$S_n-S_{n-1}=\frac{1}{n^2}>0$ 单调上升；$S_n<1+\frac{1}{1\cdot 2}+\cdots +\frac{1}{(n-1)n}=2-\frac{1}{n}<2$ 有上界。

✅【答案】

Success

$\{S_n\}$ 是收敛数列（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

证明：因为 $S_n-S_{n-1}=\frac{1}{n^2}>0$，所以此数列是单调上升数列。又因为 $S_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}<1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{(n-1)n}$，同时有 $1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{(n-1)n}=1+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=2-\frac{1}{n}<2$。此数列单调上升而又有上界，单调上升而又有上界的数列必收敛。故 $\{S_n\}$ 收敛。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：收敛数列证明

核心方法：单调+有界准则

避坑指南：$S_n<1+\frac{1}{1\cdot 2}+\cdots +\frac{1}{(n-1)n}=2-\frac{1}{n}<2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：级数收敛

结论推广：$\{S_n\}$ 收敛

方法推广：裂项放缩找上界

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型

类题演练 (Links)

• 1977-湖南-08 解-四次幂和归纳证明
• 1977-安徽理-08 解-计数与归纳法