1977-宁夏-17 解-均值不等式与积分

本题导读

本题考查均值不等式与定积分（附加题，大学内容）。核心在于 n 个正数均值不等式与定积分黎曼和。

📌【题干】

Question

（1977年宁夏卷） (1)若 $a_i>0$（$i=1,2,\dots ,n$），证明 $\left({\sum }_{i=1}^n{a}_i\right)\left({\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}\right)\ge n^2$；(2)若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $f(x)>0$，证明 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{f(x)}\ge 1$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)用 n 个正数均值不等式；(2)[0,1] 等分 n 份用定积分定义与均值不等式取极限。

✅【答案】

Success

(1)(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 n 个正数的算术平均数不小于几何平均数，得 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i\ge n\sqrt[n]{{\prod }_{i=1}^n{a}_i}$ 与 ${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}\ge n\sqrt[n]{\frac{1}{{\prod }_{i=1}^n{a}_i}}$，相乘即得 $\left(\sum a_i\right)\left(\sum \frac{1}{a_i}\right)\ge n^2$。(2)在 $[0,1]$ 等距插入 $n-1$ 个点，$x_i=\frac{i}{n}$、$\Delta x_i=\frac{1}{n}$。由定积分定义 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum f(x_i)$、${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{f(x)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum \frac{1}{f(x_i)}$。因 $f(x_i)>0$，由(1)得 $\left(\frac{1}{n}\sum f(x_i)\right)\left(\frac{1}{n}\sum \frac{1}{f(x_i)}\right)\ge 1$，取极限即 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{f(x)}\ge 1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式与积分

核心方法：均值不等式 + 定积分定义

避坑指南：(1)∑aᵢ∑1/aᵢ≥n²；(2)∫f∫1/f≥1。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于均值不等式与定积分定义（附加题，大学内容）。

结论推广：n 个正数均值不等式与定积分的黎曼和定义。

方法推广：第(2)问用 [0,1] 等分与均值不等式取极限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1977-贵州-12 解-收敛数列证明
• 1977-云南-09 解-定积分换元