1977-西藏-09 解-立方和公式归纳

本题导读

本题考查立方和公式（参考题）。核心在于数学归纳法：n=1 验证，n=k 推 n=k+1。

📌【题干】

Question

（1977年西藏卷） 求证：$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$.

🔍【思路分析】

破题导航

归纳法：n=1 成立；设 n=k 成立，证 n=k+1 时两边相等。

✅【答案】

Success

对任意自然数 $n$ 成立（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

用数学归纳法。(1)当 $n=1$ 时，左边 $=1^3=1$，右边 $={\left[\frac{1\cdot 2}{2}\right]}^2=1$，等式成立。(2)假设 $n=k$ 时成立，即 $1^3+2^3+\cdots +k^3={\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]}^2$。那么 $1^3+2^3+\cdots +k^3+(k+1{)}^3={\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]}^2+(k+1{)}^3=\frac{(k+1{)}^2(k^2+4k+4)}{4}=\frac{(k+1{)}^2(k+2{)}^2}{4}={\left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]}^2$。即 $n=k+1$ 时等式也成立。由(1)(2)，对任意自然数 $n$，等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：立方和公式归纳

核心方法：数学归纳法：n=1 验证，n=k 推 n=k+1

避坑指南：1³+2³+…+n³=[n(n+1)/2]²；归纳步提取 (k+1)² 合并为 (k+1)²(k+2)²/4。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于立方和公式，用数学归纳法证明。

结论推广：1³+2³+…+n³=[n(n+1)/2]² 是重要求和公式，可推广到一般 p 次幂和。

方法推广：归纳步的关键是提取公因式 (k+1)² 并配方。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 26.02 数学归纳法

类题演练 (Links)

• 1977-湖南-08 解-四次幂和归纳证明
• 1977-安徽理-08 解-计数与归纳法