1985-上海理-21 解-数学归纳法证不等式

本题导读

本题考查数学归纳法证明乘积不等式。核心在于归纳步的放大比较。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） 对于一切大于 1 的自然数 $n$，证明：$\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdots \left(1+\frac{1}{2n-1}\right)>\frac{\sqrt{2n+1}}{2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

记 $P_n={\prod }_{j=2}^n\frac{2j}{2j-1}$，归纳假设后比较 $\frac{2n+2}{2n+1}$ 与 $\frac{\sqrt{2n+3}}{\sqrt{2n+1}}$。

✅【答案】

Success

证明略（见解析）

✍【详细解析】

Abstract

记 $P_n={\prod }_{j=2}^n\left(1+\frac{1}{2j-1}\right)={\prod }_{j=2}^n\frac{2j}{2j-1}$。当 $n=2$ 时，$P_2=\frac{4}{3}>\frac{\sqrt{5}}{2}$（因 $\frac{16}{9}>\frac{5}{4}$）。假设对某 $n\ge 2$ 有 $P_n>\frac{\sqrt{2n+1}}{2}$。注意 $\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{2n+2}{2n+1}$，且 ${\left(\frac{2n+2}{2n+1}\right)}^2-\frac{2n+3}{2n+1}=\frac{1}{(2n+1{)}^2}>0$，故 $\frac{2n+2}{2n+1}>\frac{\sqrt{2n+3}}{\sqrt{2n+1}}$。结合归纳假设得 $P_{n+1}>\frac{\sqrt{2n+1}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2n+3}}{\sqrt{2n+1}}=\frac{\sqrt{2n+3}}{2}$。由数学归纳法，命题对一切大于 1 的自然数 $n$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数学归纳法证不等式

核心方法：数学归纳法 + 放大比较

避坑指南：归纳步验证 $\frac{2n+2}{2n+1}>\frac{\sqrt{2n+3}}{\sqrt{2n+1}}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数学归纳法证乘积不等式

结论推广：$\prod (1+\frac{1}{2j-1})>\frac{\sqrt{2n+1}}{2}$

方法推广：归纳步用放大法比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 26.02 数学归纳法

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-11 解-数学归纳法证明数列公式
• 1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法