1985-广东理-31 解-数学归纳法证绝对值不等式

本题导读

本题考查数学归纳法证明含绝对值的三角不等式。核心在于归纳递推中的放缩技巧。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(理)） 用数学归纳法证明：$|\sin n\theta |\le n|\sin \theta |$.（$n$ 是自然数）

🔍【思路分析】

破题导航

$n=1$ 时左右两边相等，成立；设 $n=k$ 成立，证 $n=k+1$ 时用 $|\sin (k+1)\theta |\le |\sin k\theta |+|\sin \theta |$ 放缩。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)当 $n=1$ 时，左边 $=|\sin \theta |=$ 右边，不等式成立。 (2)假设当 $n=k$（$k\ge 1$）时不等式成立，即 $|\sin k\theta |\le k|\sin \theta |$。则当 $n=k+1$ 时，$|\sin (k+1)\theta |=|\sin k\theta \cos \theta +\cos k\theta \sin \theta |\le |\sin k\theta ||\cos \theta |+|\cos k\theta ||\sin \theta |\le |\sin k\theta |+|\sin \theta |\le k|\sin \theta |+|\sin \theta |=(k+1)|\sin \theta |$。 由(1)(2)知，对任意自然数 $n$ 不等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数学归纳法证绝对值不等式

核心方法：归纳奠基与归纳递推

避坑指南：用 $|\sin (k+1)\theta |\le |\sin k\theta ||\cos \theta |+|\cos k\theta ||\sin \theta |$ 放缩

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数学归纳法证三角不等式

结论推广：$|\sin n\theta |\le n|\sin \theta |$ 的归纳证明

方法推广：归纳法证明三角不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1985-上海理-21 解-数学归纳法证不等式
• 1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法