1985-广东文-27 解-数学归纳法证数列等式

本题导读

本题考查数学归纳法证明奇数平方和公式。核心在于递推步的因式分解。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(文)） 用数学归纳法证明：$1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1{)}^2=\frac{1}{3}n(4n^2-1)$（$n$ 为自然数）.

🔍【思路分析】

破题导航

$n=1$ 时成立；设 $n=k$ 成立，$n=k+1$ 时因式分解凑目标形式 $\frac{1}{3}(k+1)[4(k+1{)}^2-1]$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)当 $n=1$ 时，左边 $=1=$ 右边 $\frac{1}{3}\cdot 1\cdot (4-1)=1$，等式成立。 (2)假设当 $n=k$（$k\ge 1$）时等式成立，即 $1^2+3^2+\cdots +(2k-1{)}^2=\frac{1}{3}k(4k^2-1)$。则当 $n=k+1$ 时，左边 $=\frac{1}{3}k(4k^2-1)+(2k+1{)}^2=\frac{1}{3}[k(2k+1)(2k-1)+3(2k+1{)}^2]=\frac{1}{3}(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]=\frac{1}{3}(2k+1)(2k^2+5k+3)=\frac{1}{3}(2k+1)(k+1)(2k+3)=\frac{1}{3}(k+1)[4(k+1{)}^2-1]$。 即 $n=k+1$ 时等式也成立。由(1)(2)，对任何自然数 $n$ 等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数学归纳法证数列等式

核心方法：归纳奠基与递推

避坑指南：递推步因式分解 $\frac{1}{3}(2k+1)[\cdots ]$ 凑目标形式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数学归纳法证数列等式

结论推广：奇数平方和公式 $\sum (2k-1{)}^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}$

方法推广：归纳法证恒等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 1985-上海理-21 解-数学归纳法证不等式
• 1985-全国文-11 解-数学归纳法证明数列公式