1995-全国卷文-23 解-等比数列前 n 项和的对数不等式证明

本题导读

本题考查等比数列前 $n$ 项和的结构。核心在于把对数不等式等价转化为 $S_{n+1}^2-S_n{S}_{n+2}>0$ 的证明。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 是由正数组成的等比数列，$S_n$ 是其前 $n$ 项和，证明：$\frac{{\log }_{0.5}{S}_n+{\log }_{0.5}{S}_{n+2}}{2}>{\log }_{0.5}{S}_{n+1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 ${\log }_{0.5}u$ 递减，原不等式等价于 $\sqrt{S_n{S}_{n+2}}<S_{n+1}$。
2. 用 $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$ 展开平方差，提取公比化为 $a_1{a}_{n+1}>0$。

✅【答案】

Success

见解析（原不等式成立）

✍【详细解析】

Abstract

设公比为 $q>0$。因 $S_n$，$S_{n+1}$，$S_{n+2}$ 均为正数，且 ${\log }_{0.5}u$ 在 $(0,+\infty )$ 上递减，原不等式等价于 $\sqrt{S_n{S}_{n+2}}<S_{n+1}$，即证 $S_{n+1}^2-S_n{S}_{n+2}>0$。由 $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$，$S_{n+2}=S_n+a_{n+1}+a_{n+2}$，得 $S_{n+1}^2-S_n{S}_{n+2}=(S_n+a_{n+1}{)}^2-S_n(S_n+a_{n+1}+a_{n+2})=a_{n+1}(S_n+a_{n+1})-a_{n+2}{S}_n=a_{n+1}{S}_{n+1}-a_{n+2}{S}_n=a_{n+1}(S_{n+1}-q{S}_n)$。又 $S_{n+1}-q{S}_n=(a_1+a_2+\cdots +a_{n+1})-(a_2+a_3+\cdots +a_{n+1})=a_1$（因 $a_{n+2}=q{a}_{n+1}$）。故 $S_{n+1}^2-S_n{S}_{n+2}=a_1{a}_{n+1}>0$，原不等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列前 n 项和的对数不等式证明

核心方法：等价于 $\sqrt{S_n{S}_{n+2}}<S_{n+1}$；$S_{n+1}^2-S_n{S}_{n+2}=a_{n+1}(S_{n+1}-q{S}_n)=a_1{a}_{n+1}>0$

避坑指南：去对数化平方差

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等比数列与对数的综合

结论推广：一般地，$S_{n+1}^2-S_n{S}_{n+2}=a_1{a}_{n+1}$ 是等比数列的核心恒等式

方法推广：平方差化恒等式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-21 解-等比数列公比的求法
• 1996-上海文-24 解-数列的通项与公共项
• 1997-上海文-22 解-数列的通项与求和