1997-上海文-22 解-数列的通项与求和

本题导读

本题考查数列的通项与求和，核心在于由递推关系判断等比数列及配对求和。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=1$，前 $n$ 项和 $S_n$ 满足关系式：$3t{S}_n-(2t+3)S_{n-1}=3t$（$t>0$，$n=2,3,4,\dots$）.

(1)求证：数列 $\{a_n\}$ 是等比数列；

(2)设数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $f(t)$，作数列 $\{b_n\}$，使 $b_1=1$，$b_n=f\left(\frac{1}{b_{n-1}}\right)$（$n=2,3,4,\cdots$），求 $b_n$；

(3)求和：$b_1{b}_2-b_2{b}_3+b_3{b}_4-\cdots +b_{2n-1}{b}_{2n}-b_{2n}{b}_{2n+1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 递推式相减求相邻项比。
2. 求 $b_n$ 通项。
3. 配对求和。

✅【答案】

Success

(1) 公比为 $\frac{2t+3}{3t}$ 的等比数列

(2) $b_n=\frac{2n+1}{3}$

(3) $-\frac{4}{9}(2n^2+3n)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $S_1=a_1=1$，$S_2=1+a_2$，得 $3t(1+a_2)-(2t+3)=3t$，故 $a_2=\frac{2t+3}{3t}$，$\frac{a_2}{a_1}=\frac{2t+3}{3t}$。又 $3t{S}_n-(2t+3)S_{n-1}=3t$，$3t{S}_{n-1}-(2t+3)S_{n-2}=3t$，两式相减得 $3t{a}_n-(2t+3)a_{n-1}=0$，即 $\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2t+3}{3t}$（$n=3,4,\dots$）。因此 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$、公比为 $\frac{2t+3}{3t}$ 的等比数列。 （2）由 $f(t)=\frac{2t+3}{3t}=\frac{2}{3}+\frac{1}{t}$，$b_n=f\left(\frac{1}{b_{n-1}}\right)=\frac{2}{3}+b_{n-1}$，故 $\{b_n\}$ 是首项为 $1$、公差为 $\frac{2}{3}$ 的等差数列，$b_n=1+\frac{2}{3}(n-1)=\frac{2n+1}{3}$。 （3）由 $b_n=\frac{2n+1}{3}$，有 $b_{2n}=\frac{4n+1}{3}$，$b_{2n+1}=\frac{4n+3}{3}$。于是 $S=b_1{b}_2-b_2{b}_3+\cdots +b_{2n-1}{b}_{2n}-b_{2n}{b}_{2n+1}=b_2(b_1-b_3)+b_4(b_3-b_5)+\cdots +b_{2n}(b_{2n-1}-b_{2n+1})=-\frac{4}{3}(b_2+b_4+\cdots +b_{2n})=-\frac{4}{3}\cdot \frac{n}{2}\left(\frac{5}{3}+\frac{4n+1}{3}\right)=-\frac{4}{9}(2n^2+3n)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的通项与求和

核心方法：(1) 递推相减得 $\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2t+3}{3t}$，故等比；；(2) $b_n=\frac{2}{3}+b_{n-1}$，等差 $b_n=\frac{2n+1}{3}$；；(3) $S=b_2(b_1-b_3)+\cdots +b_{2n}(b_{2n-1}-b_{2n+1})=-\frac{4}{9}(2n^2+3n)$

避坑指南：递推相减判等比 + 配对求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列

结论推广：一般地，等差数列通项与配对求和

方法推广：递推相减判等比 + 配对求和

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-22 解-数列与抛物线的综合
• 1997-全国卷文-21 解-等差等比中项求通项
• 1999-上海理-18 解-等比数列对数和的极限