1998-上海理-22 解-数列与抛物线的综合

本题导读

本题考查数列与抛物线的综合。核心在于由和差关系定通项，由切线斜率求极限，由集合关系定等差数列。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(理)）若 $A_{n}$ 和 $B_{n}$ 分别表示数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项的和，对任意正整数 $n$ ， $a_{n} = - \frac{2 n + 3}{2}$ ， $4 B_{n} - 12 A_{n} = 13 n$ .

(1) 求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式.

(2) 设有抛物线列 $C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}, \dots$ ，抛物线 $C_{n}$ （ $n \in N$ ）的对称轴平行于 $y$ 轴，顶点为 $(a_{n}, b_{n})$ ，且通过点 $D_{n} (0, n^{2} + 1)$ ，过点 $D_{n}$ 且与抛物线 $C_{n}$ 相切的直线斜率为 $k_{n}$ ，求极限 $n \to \infty lim \frac{k _{1} + k _{2} + k _{3} + \dots + k _{n}}{a _{n} b _{n}}$ .

(3) 设集合 $X = {x ∣ x = 2 a_{n}, n \in N}$ ， $Y = {y ∣ y = 4 b_{n}, n \in N}$ .若等差数列 ${c_{n}}$ 的任一项 $c_{n} \in X \cap Y$ ， $c_{1}$ 是 $X \cap Y$ 中的最大数，且 $- 265 < c_{10} < - 125$ ，求 ${c_{n}}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $4 B_{n} - 12 A_{n} = 13 n$ 与 $a_{n}$ 相减定 $b_{n}$ 。

由顶点与过点定抛物线，求切线斜率 $k_{n}$ ，再求极限。

由集合关系定等差数列 ${c_{n}}$ 的通项。

✅【答案】

Success

(1) $b_{n} = - \frac{12 n + 5}{4}$ ；(2) $\frac{1}{3}$ ；(3) $c_{n} = 7 - 24 n$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当正整数 $n ⩾ 2$ 时，由 ${4 B_{n} - 12 A_{n} = 13 n, 4 B_{n - 1} - 12 A_{n - 1} = 13 (n - 1)$ 相减得 $4 b_{n} - 12 a_{n} = 13$ 。由 $a_{n} = - \frac{2 n + 3}{2}$ 得 $4 b_{n} = 12 a_{n} + 13 = - 6 (2 n + 3) + 13 = - 12 n - 5$ ，所以 $b_{n} = - \frac{12 n + 5}{4}$ 。又 $4 b_{1} - 12 a_{1} = 13$ ，可得 $b_{1} = - \frac{17}{4}$ 。因此 ${b_{n}}$ 的通项公式是 $b_{n} = - \frac{12 n + 5}{4}$ 。 (2) 设抛物线 $C_{n}$ 的方程为 $y = a (x + \frac{2 n + 3}{2})^{2} - \frac{12 n + 5}{4}$ 。因为 $D_{n} (0, n^{2} + 1)$ 在此抛物线上，即得 $a = 1$ ，因此 $C_{n}$ 的方程为 $y = (x + \frac{2 n + 3}{2})^{2} - \frac{12 n + 5}{4} = x^{2} + (2 n + 3) x + n^{2} + 1$ 。所以 $y' = 2 x + (2 n + 3)$ ，于是 $D_{n}$ 处切线斜率 $k_{n} = 2 n + 3$ 。因此 $n \to \infty lim \frac{k _{1} + k _{2} + \dots + k _{n}}{a _{n} b _{n}} = n \to \infty lim \frac{n ^{2} + 4 n}{( - n - \frac{3}{2} ) ( - 3 n - \frac{5}{4} )} = n \to \infty lim \frac{n ^{2} + 4 n}{3 n ^{2} + \dots} = \frac{1}{3}$ 。 (3) 对任意正整数 $n$ ， $2 a_{n} = - 2 n - 3$ ， $4 b_{n} = - 12 n - 5 = - 2 (6 n + 1) - 3 \in X$ ，所以 $Y \subseteq X$ ，故可得 $X \cap Y = Y$ 。 $c_{1}$ 是 $X \cap Y$ 中的最大数，所以 $c_{1} = - 17$ 。设等差数列 ${c_{n}}$ 的公差为 $d$ ，则 $c_{10} = - 17 + 9 d$ 。由 $- 265 < c_{10} < - 125$ ，得 $- \frac{275}{9} < d < - 12$ 。而 ${4 b_{n}}$ 是一个以 $- 12$ 为公差的等差数列，所以 $d = - 12 m$ （ $m \in N$ ），故 $d = - 24$ 。因此 $c_{n} = 7 - 24 n$ （ $n \in N$ ）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列与抛物线的综合

核心方法：(1) $4 b_{n} - 12 a_{n} = 13$ 且 $a_{n} = - \frac{2 n + 3}{2}$ ，得 $b_{n} = - \frac{12 n + 5}{4}$ ；；(2) 顶点 $(a_{n}, b_{n})$ 抛物线过 $D_{n} (0, n^{2} + 1)$ 定方程，切线斜率 $k_{n} = 2 n + 3$ ，极限 $lim \frac{\sum k _{n}}{a _{n} b _{n}} = \frac{1}{3}$ ；；(3) $X \cap Y = Y$ ， $c_{1} = - 17$ ， $d = - 24$ ， $c_{n} = 7 - 24 n$

避坑指南：和差定通项 + 切线斜率求极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列与抛物线

结论推广：一般地，和差定通项，切线斜率求极限

方法推广：和差定通项切线求极限

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

1998-全国卷文-25 解-等差数列通项与比较大小

1999-上海理-18 解-等比数列对数和的极限

1998-全国卷文-22 解-抛物线的定义与方程

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1998-上海理-22 解-数列与抛物线的综合

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