1997-上海理-22 解-数列的通项与求和

本题导读

本题考查数列的通项与求和，核心在于由递推关系判断等比数列、求极限及分奇偶求和。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)）设数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足关系式： $3 t S_{n} - (2 t + 3) S_{n - 1} = 3 t$ （ $t > 0$ ， $n = 2, 3, 4, \dots$ ）.

(1)求证：数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；

(2)设数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $f (t)$ ，作数列 ${b_{n}}$ ，使 $b_{1} = 1$ ， $b_{n} = f (\frac{1}{b _{n - 1}})$ （ $n = 2, 3, 4, \dots$ ），求 $n \to \infty lim \frac{l g a _{n}}{b _{n}}$ ；

(3)求和： $b_{1} b_{2} - b_{2} b_{3} + b_{3} b_{4} - \dots + (- 1)^{n - 1} b_{n} b_{n + 1}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

递推式相减求相邻项比。

求 $b_{n}$ 通项，算极限。

分奇偶讨论求和。

✅【答案】

Success

(1) 公比为 $\frac{2 t + 3}{3 t}$ 的等比数列

(2) $\frac{3}{2} l g \frac{2 t + 3}{3 t}$

(3) $⎩ ⎨ ⎧ - \frac{1}{9} (2 n^{2} + 6 n), \frac{1}{9} (2 n^{2} + 6 n + 7), n 为偶数 n 为奇数$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $S_{1} = a_{1} = 1$ ， $S_{2} = 1 + a_{2}$ ，得 $3 t (1 + a_{2}) - (2 t + 3) = 3 t$ ，故 $a_{2} = \frac{2 t + 3}{3 t}$ ， $\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{2 t + 3}{3 t}$ 。又 $3 t S_{n} - (2 t + 3) S_{n - 1} = 3 t$ ， $3 t S_{n - 1} - (2 t + 3) S_{n - 2} = 3 t$ ，两式相减得 $3 t a_{n} - (2 t + 3) a_{n - 1} = 0$ ，即 $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{2 t + 3}{3 t}$ （ $n = 3, 4, \dots$ ）。因此 ${a_{n}}$ 是首项为 $1$ 、公比为 $\frac{2 t + 3}{3 t}$ 的等比数列。（2）由 $f (t) = \frac{2 t + 3}{3 t} = \frac{2}{3} + \frac{1}{t}$ ， $b_{n} = f (\frac{1}{b _{n - 1}}) = \frac{2}{3} + b_{n - 1}$ ，故 ${b_{n}}$ 是首项为 $1$ 、公差为 $\frac{2}{3}$ 的等差数列， $b_{n} = 1 + \frac{2}{3} (n - 1) = \frac{2 n + 1}{3}$ 。于是 $n \to \infty lim \frac{l g a _{n}}{b _{n}} = n \to \infty lim \frac{( n - 1 ) l g \frac{2 t + 3}{3 t}}{\frac{2 n + 1}{3}} = \frac{3}{2} l g \frac{2 t + 3}{3 t}$ 。（3）由 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{3}$ ，可知 ${b_{2 n - 1}}$ 和 ${b_{2 n}}$ 是公差均为 $\frac{4}{3}$ 的等差数列， $b_{2 n} = \frac{4 n + 1}{3}$ ， $b_{2 n + 1} = \frac{4 n + 3}{3}$ 。当 $n = 2 m$ 时， $b_{1} b_{2} - b_{2} b_{3} + \dots + b_{2 m - 1} b_{2 m} - b_{2 m} b_{2 m + 1} = b_{2} (b_{1} - b_{3}) + b_{4} (b_{3} - b_{5}) + \dots + b_{2 m} (b_{2 m - 1} - b_{2 m + 1}) = - \frac{4}{3} (b_{2} + b_{4} + \dots + b_{2 m}) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} m \cdot (\frac{5}{3} + \frac{4 m + 1}{3}) = - \frac{1}{9} (2 n^{2} + 6 n)$ 。当 $n = 2 m - 1$ 时，结果为 $- \frac{4}{9} m (2 m + 3) + b_{2 m} b_{2 m + 1} = \frac{1}{9} (8 m^{2} + 4 m + 3) = \frac{1}{9} (2 n^{2} + 6 n + 7)$ 。故 $b_{1} b_{2} - b_{2} b_{3} + \dots + (- 1)^{n - 1} b_{n} b_{n + 1} = ⎩ ⎨ ⎧ - \frac{1}{9} (2 n^{2} + 6 n), \frac{1}{9} (2 n^{2} + 6 n + 7), n 为偶数 n 为奇数$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的通项与求和

核心方法：(1) 由递推相减得 $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{2 t + 3}{3 t}$ ，故等比；；(2) $b_{n} = \frac{2}{3} + b_{n - 1}$ ，等差 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{3}$ ， $lim \frac{l g a _{n}}{b _{n}} = \frac{3}{2} l g \frac{2 t + 3}{3 t}$ ；；(3) 分奇偶求和，偶数 $- \frac{1}{9} (2 n^{2} + 6 n)$ ，奇数 $\frac{1}{9} (2 n^{2} + 6 n + 7)$

避坑指南：递推相减判等比 + 分奇偶求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列

结论推广：一般地，递推相减求通项比，分奇偶求和

方法推广：递推相减判等比 + 分奇偶求和

🔗【关联脉络】

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1997-上海理-22 解-数列的通项与求和

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