1995-上海文-25 解-二次函数与圆的面积之和

本题导读

本题考查二次函数解析式与圆的综合。核心在于由最小值与定点定解析式，由圆相切建立递推求公比，再求面积之和。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(文)） 已知二次函数 $y=f(x)$ 在 $x=\frac{t+2}{2}$ 处取得最小值 $-\frac{t^2}{4}$（$t\ne 0$），$f(1)=0$.

(1)求 $y=f(x)$ 的表达式；

(2)若任意实数 $x$ 都满足等式 $f(x)g(x)+mx+n=x^3$（$g(x)$ 为多项式），试用 $t$ 表示 $m$ 和 $n$；

(3)设 $t=-3$，圆 $C_k$ 的方程为 $(x-m{q}^k{)}^2+(y-n{q}^k{)}^2=r_k^2$（$0<q<1$，$r_k>0$），圆 $C_k$ 与 $x$ 轴相切，圆 $C_k$ 与 $C_{k+1}$ 外切（$k=0,1,2,\cdots$），记 $S$ 为所有这些圆的面积之和，求 $q$，$S$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由最小值点设顶点式，用 $f(1)=0$ 定系数。
2. 代入 $x=1$、$x=t+1$ 解出 $m,n$。
3. 由圆与 $x$ 轴相切及两圆外切求公比 $q$，再求面积和 $S$。

✅【答案】

Success

(1) $f(x)=x^2-(t+2)x+t+1$

(2) $m=t^2+3t+3$，$n=-t^2-3t-2$

(3) $q=\frac{\sqrt{13}-2}{\sqrt{13}+2}$，$S=\pi \left(2+\frac{17}{26}\sqrt{13}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设 $f(x)=a{\left(x-\frac{t+2}{2}\right)}^2-\frac{t^2}{4}$。由 $f(1)=0$，得 $a{\left(1-\frac{t+2}{2}\right)}^2-\frac{t^2}{4}=0$，即 $a\cdot \frac{t^2}{4}=\frac{t^2}{4}$，得 $a=1$。于是 $f(x)={\left(x-\frac{t+2}{2}\right)}^2-\frac{t^2}{4}=x^2-(t+2)x+t+1$。 (2)$f(x)=(x-1)[x-(t+1)]$，代入已知等式得 $(x-1)[x-(t+1)]g(x)+mx+n=x^3$。将 $x=1$、$x=t+1$ 分别代入，得 $m+n=1$，$(t+1)m+n=(t+1{)}^3$。由 $t\ne 0$ 解得 $m=\frac{(t+1{)}^3-1}{t}=t^2+3t+3$，$n=(t+1)-m(t+1)=-t^2-3t-2$。 (3)当 $t=-3$ 时，$m=3$、$n=-2$。圆 $C_k$ 的方程为 $(x-3q^k{)}^2+(y+2q^k{)}^2=r_k^2$。因为圆 $C_k$ 与 $x$ 轴相切，所以 $r_k=2q^k$。圆 $C_k$ 的圆心 $O_k=(3q^k,-2q^k)$，故 $|O_k{O}_{k+1}{|}^2=(3q^{k+1}-3q^k{)}^2+(2q^{k+1}-2q^k{)}^2=13q^{2k}(q-1{)}^2$。因为 $0<q<1$，所以 $|O_k{O}_{k+1}|=\sqrt{13}{q}^k(1-q)$。又圆 $C_k$ 与 $C_{k+1}$ 外切，故 $r_k+r_{k+1}=|O_k{O}_{k+1}|$，即 $2q^k+2q^{k+1}=\sqrt{13}{q}^k(1-q)$，得 $2+2q=\sqrt{13}(1-q)$，解得 $q=\frac{\sqrt{13}-2}{\sqrt{13}+2}$。 圆 $C_k$ 的面积 $S_k=\pi r_k^2=4\pi q^{2k}$，故 $S=S_0+S_1+S_2+\cdots =4\pi (1+q^2+q^4+\cdots )=\frac{4\pi }{1-q^2}=\pi \left(2+\frac{17}{26}\sqrt{13}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数与圆的面积之和

核心方法：(1) $f(x)=x^2-(t+2)x+t+1$；(2) $m=t^2+3t+3$、$n=-t^2-3t-2$；(3) $t=-3$ 时 $m=3$、$n=-2$，由圆与 $x$ 轴相切及两圆外切得 $q=\frac{\sqrt{13}-2}{\sqrt{13}+2}$，$S=\pi (2+\frac{17}{26}\sqrt{13})$

避坑指南：待定系数 + 相切建立递推

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列与圆

结论推广：一般地，由圆相切建立半径递推求公比再求和

方法推广：待定系数 + 相切建立递推

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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