1997-全国卷文-21 解-等差等比中项求通项

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和及等比、等差中项。核心在于把中项条件化为方程组求通项。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项的和.已知 $\frac{S_3}{3}$ 与 $\frac{S_4}{4}$ 的等比中项为 $\frac{S_1}{5}$，$\frac{S_3}{3}$ 与 $\frac{S_4}{4}$ 的等差中项为 $1$.求等差数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $a_n=a_1+(n-1)d$，写出 $\frac{S_3}{3}$、$\frac{S_4}{4}$、$\frac{S_1}{5}$。
2. 由等比中项、等差中项列方程组，解出 $a_1$、$d$。

✅【答案】

Success

$a_n=1$ 或 $a_n=\frac{32}{5}-\frac{12}{5}n$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列首项为 $a_1$、公差为 $d$，则 $a_n=a_1+(n-1)d$，$S_n=\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right]$。故 $\frac{S_3}{3}=a_1+d$，$\frac{S_4}{4}=a_1+\frac{3d}{2}$，$\frac{S_1}{5}=\frac{a_1}{5}$。由等比中项条件得 ${\left(\frac{a_1}{5}\right)}^2=\left(a_1+d\right)\left(a_1+\frac{3d}{2}\right)$；由等差中项条件得 $\left(a_1+d\right)+\left(a_1+\frac{3d}{2}\right)=2$，即 $2a_1+\frac{5d}{2}=2$。联立解得 $a_1=1$、$d=0$，或 $a_1=4$、$d=-\frac{12}{5}$。故 $a_n=1$，或 $a_n=4-\frac{12}{5}(n-1)=\frac{32}{5}-\frac{12}{5}n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比中项求通项

核心方法：设 $a_n=a_1+(n-1)d$，$\frac{S_3}{3}=a_1+d$、$\frac{S_4}{4}=a_1+\frac{3d}{2}$、$\frac{S_1}{5}=\frac{a_1}{5}$；由 $(\frac{a_1}{5}{)}^2=(a_1+d)(a_1+\frac{3d}{2})$ 与 $a_1+d+a_1+\frac{3d}{2}=2$，解得 $a_1=1,d=0$ 或 $a_1=4,d=-\frac{12}{5}$，故 $a_n=1$ 或 $a_n=\frac{32}{5}-\frac{12}{5}n$

避坑指南：列方程组求首项公差

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等差等比中项

结论推广：一般地，把中项条件转化为方程组

方法推广：列方程组求通项

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-10 填-等差中项与数列求和
• 2000-大纲文-18 解-等差数列前n项和与Tn
• 1999-上海文-10 填-等差数列前n项和的最大值